Norme $p$ et norme $\infty$

Bon avec ce que tu dis tu as déjà $\limsup \|f\|_p \leq \|f\|_\infty$, reste à montrer que $\liminf \|f\|_p \geq \|f\|_\infty $.

Pour ça tu peux utiliser le fait que $\int_I |f(t)|^p dt \geq \int_{B(x,\eta)} |f(t)|^p dt$ où $f(x) = \|f\|_\infty$ (EDIT : il fallait en fait lire $|f(x)|=\|f\|_\infty$, cf messages suivants) et $\eta$ un réel assez petit. Je te laisse trafiquer la deuxième intégrale pour aboutir à ce que l'on veut.

Le sup est atteint puisque c'est le cas continu !

Si j'ai bien suivi tu fais le cas simple d'une fonction continue sur un segment donc le sup est atteint en un certain $x$.

Je te laisse réfléchir à la question : est-ce qu'on s'en foutrait pas un peu du signe de f ?

Oui totem c'est plié car $\limsup \|f\|_p \geq \liminf \|f\|_p$. Aussi dans le cas général des espace $L^p$, on démontre que $\limsup \|f\|_p \leq \|f\|_\infty \leq \liminf \|f\|_p $.

Ni l'un ni l'autre. C'est la limite supérieure d'une suite.

On écrirait plutôt $$\limsup_{p \to +\infty} ||f||_p \leq ||f||_{\infty} \leq \liminf_{p \to +\infty} ||f||_p.$$

Tu devrais (re)voir les notions de limites supérieure et inférieure d'une suite (ou d'une fonction).

Par définition, $\limsup_{p \to +\infty} ||f||_p = \lim_{p \to +\infty} \sup_{q \geq p} ||f||_q$. C'est aussi la plus grande valeur d'adhérence de la suite $(||f||_p)_p$. C'est une notion fondamentale en analyse.

Oui c'est décroissant au sens large. Cela vient du fait que $A\subset B \implies \sup A \leq \sup B$.

C'est très surprenant que tu ne connaisses pas ces notions de limsup et liminf, comme l'a dit Poirot c'est fondamental.

Ce n'était pas toi qui avait demandé des exercices d'analyse L1 sur le forum ? Je n'arrive plus à retrouver le fil. Dans mon souvenir ça comprenait des exercices sur la notion de lim sup et lim inf.

Mea culpa je t'ai confondu avec homo topi : voir ici.

T'expliquer quoi ? les lim inf et et lim sup ?

Il n'y a pas grand chose à dire. Tu as la définition, $\limsup u_n = \lim_k \sup_{n\geq k} u_n$ et $\liminf u_n = \lim_k \inf_{n\geq k} u_n$, ces limites existent toujours puis qu'il s'agit de limite de suites monotones.

Ensuite quelques exercice :
-$\liminf u_n \leq \limsup u_n$
-Une suite réelle admet une limite ssi sa lim sup et sa lim inf sont égales. Dans ce cas $\limsup u_n= \liminf u_n = \lim u_n$.
-La lim sup est la plus grande valeur d'adhérence de $(u_n)_n$, la lim inf sa plus petite.
-$(u_n)_n$ est bornée ssi sa lim sup et sa lim inf sont finies.
-$\limsup u_n+v_n \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ et $\liminf u_n+v_n \geq \liminf u_n + \liminf v_n$
-$\limsup u_n = -\liminf (-u_n)$
etc.


Autre caractérisation :
\[
\limsup u_n = \lambda \in \R \Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0, \exists N\in \N, n\geq N \implies u_n < \lambda + \varepsilon) \wedge (\forall \varepsilon >0, \forall N \in \N, \exists n \geq N , u_n \geq \lambda -\varepsilon)
\]
que je te laisse démontrer (idem pour la lim inf).


L'intérêt du concept de lim sup/lim inf est double :
1) Ces quantités existent toujours donc ça simplifie l'écriture de certaines preuves. Par exemple dans l'exercice de de fil tu ne peux pas écrire directement $\lim \|f\|_p \leq \|f\|_\infty$ avec l'argument que tu donnes au début parce que tu ne sais pas si la limite existe. En revanche aucune précaution à prendre pour en déduire $\limsup \|f\|_p \leq \|f\|_\infty$.
2)Cela fournit des concepts pour étudier en l'infini les suites qui n'ont pas de limite de façon un peu plus détaillée qu'en disant simplement "cette suite n'a pas de limite".

Ça serait bien que tu indiques en indice sur quoi tu prends tes $\sup, \lim$ et $\limsup$, c'est fondamental. Je pense que c'est en particulier pour ça que tu n'arrives pas à comprendre $$\sup ||f_n(x)||_{\infty} = \sup \sup |f_n(x)|$$ (qui est une horreur notationnelle du point de vue de tout matheux rigoureux).

C'était effectivement la limite supérieure qu'il fallait comprendre. Prends $f = 2$ sur $[0;2]$, on a $\|f\|_\infty = 2$ et $\|f\|_p = 2^{1+1/p} > \|f\|_\infty$. Il est donc faux de dire que $\sup_p \|f\|_p \leq \|f\|_\infty$.

Comme l'a dit Poirot, sauf quand c'est évident il faut mettre des indices sous les $\sup$ et $\lim$ pour éviter les confusions.

L'ensemble de départ de la fonction n'a aucune importance. Ta dernière phrase repose juste sur la propriété suivante :
\[
(\forall y \in A, y \leq 7) \implies (\sup A \leq 7).
\]
Dans ton exemple $A$ est l'ensemble des images de $f$ mais ça pourrait être plein d'autres trucs, la seule chose importante est que $A$ soit un sous ensemble de réels sinon le sup risque de ne pas être défini. Il faut donc que l'ensemble d'arrivé de $f$ soit $\R$ ou un autre ensemble sur lequel on peut définir le sup.

Oui, oui, mais tu n'avais pas besoin de moi pour répondre à cette question quand même non ? :-P

À quel endroit ?

C'est incompréhensible, de quelle "inégalité des sup" parles-tu ? Écris quelque chose de précis. Je suis prêt à parier qu'en l'écrivant tu trouveras tout seul la réponse à ta question en plus.

Calcule la borne supérieure de $\{2^{1+1/p} \mid p \geq 1\}$...

Poirot est trop gentil avec toi totem
Calcule la borne supérieure de $\{\frac{\ln n}{n}, n\in\N^*\}$

totem je voulais te piéger dans la précipitation, mais pas de chance.

Ni trop méchant en général ;-)