Problème de minimisation et Euler-Lagrange
Bonjour, je travaille sur le problème dans le cadre de la restauration d'images suivant.
Soient $\sigma>0$, $u_0 \in H^1(\Omega)$ où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$, on cherche $u \in H^1(\Omega)$ telle que
$$
\min\limits_{\frac{1}{2} \int_\Omega (u-u_0)^2 dx \, dy = \sigma^2} \int_\Omega \vert \nabla u \vert dx \, dy.
$$ Et dans le document que j'étudie, il est dit que peu importe la contrainte sous le $\min$, on peut trouver $u$ en résolvant l'équation d'Euler-Lagrange suivante.
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \text{div} \Big( \frac{\nabla u}{\vert \nabla u \vert} \Big) ,
$$ avec pour condition initiale $u_{|t=0} = u_0$.
Cela dit, je ne vois pas comment on arrive à cette équation d'Euler-Lagrange. Je sais qu'il faut écrire une relation d'optimalité mais je ne sais pas trop comment commencer.
Merci à ceux qui me répondront !
Soient $\sigma>0$, $u_0 \in H^1(\Omega)$ où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$, on cherche $u \in H^1(\Omega)$ telle que
$$
\min\limits_{\frac{1}{2} \int_\Omega (u-u_0)^2 dx \, dy = \sigma^2} \int_\Omega \vert \nabla u \vert dx \, dy.
$$ Et dans le document que j'étudie, il est dit que peu importe la contrainte sous le $\min$, on peut trouver $u$ en résolvant l'équation d'Euler-Lagrange suivante.
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \text{div} \Big( \frac{\nabla u}{\vert \nabla u \vert} \Big) ,
$$ avec pour condition initiale $u_{|t=0} = u_0$.
Cela dit, je ne vois pas comment on arrive à cette équation d'Euler-Lagrange. Je sais qu'il faut écrire une relation d'optimalité mais je ne sais pas trop comment commencer.
Merci à ceux qui me répondront !
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Si tu as compris les détails tant mieux