Décalage vers le bleu

Encore?

I) Tout ce qu'on va dire plus bas se reformule fidèlement dans la théorie des corps réels clos (les notions de fonctions que nous envisageons sont affines et on peut donc tout exprimer matriciellement. On confondra "partie" avec "formule du premier ordre"). Il s'agit de cinématique "unimonde" à 100%.
Je laisse à christophe c la responsabilité de l'éventuelle affirmation "la théorie des corps réels clos est contradictoire ou bien entraîne la MQ".

-Soit $(K,\leq)$ un corps réel clos et $c\in K$ strictement positif.
-On appelle "espace de Lorentz" l'ensemble $K^4$.
-La forme de Lorentz est l'application $(t,x,y,z)\in K^4 \mapsto c^2t^2-x^2-y^2-z^2$.
-Soit $\mathcal L^0$ l'ensemble de toutes les applications linéaires $f$ de déterminant positif, préservant $\{(t,x,y,z)\in K^4 \mid t\geq 0\}$ et telles que $q(f(\mathbf v))=q(\mathbf v)$ pour tout $\mathbf v\in K^4$ (NB: dans le cas particulier où $K=\R$, il s'agit de la composante connexe du neutre du sous-groupe de $GL_4(\R)$ constitué des éléments préservant $q$).
On appelle groupe de Lorentz l'ensemble de toutes les applications de $K^4$ de la forme $\mathbf w \mapsto \mathbf u + f(\mathbf w)$ où $\mathbf u\in K^4$ et $f\in \mathcal L^0$.

-Une partie $A$ de $K^4$ est dite "fonctionnelle en la première coordonnée" si pour tous $t\in K$ et $x,x',y,y',z,z'\in K^3$, les relations $(t,x,y,z)\in A$ et $(t,x',y',z')\in A$ entraînent les égalités $x=x'$, $y=y'$ et $z=z'$ (exo d'algèbre linéaire).
On peut montrer, pour toute partie $B$ de $K^4$, l'équivalence entre les énoncés suivants:
1°) Pour tout élément $f$ de $\mathcal L$, $f(B)$ est fonctionnelle en sa première coordonnée
2°) Pour tous $(t_1,x_1,y_1,z_1)$ et tous $(t_2,x_2,y_2,z_2)$ dans $B$, $\sqrt {(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \leq c|t_2-t_1|$ ("principe de causalité relativiste")

Une partie de $K^4$ satisfaisant 1° (et/ou 2°) sera aussi appelée une "trajectoire".

II) Une droite $D$ affine de $\K^4$ est une trajectoire au sens ci-dessus si et seulement si elle admet un vecteur directeur $\vec{\mathbf v}$ tel que $q(\vec v) \geq 0$.
Soient $\Phi$ un sous-ensemble de $K$ et $\theta \in K$. $\Phi$ est dit périodique de période $\theta$ si pour tous $x\in \Phi$, $\theta + x \in \Phi$.
Une "trajectoire de particule à flash périodiques" est un triplet $(D,f,\Phi)$ où $\Phi$ est une partie périodique de $K$, $D$ une droite de $K^4$ qui est aussi une trajectoire et $f:D\to K$ une fonction affine. L'ensemble des "flashes" de $(D,f,\Phi)$ est par définition $f^{-1}(\Phi)$.
Soit $\theta$ une période de $g$. Comme $f$ est surjective, si $\Phi$ est non vide (et si $a\in \Phi$) il existe $\mathbf u_1,\mathbf u_2$ tels que $f(\mathbf u_1)=a$ et $\mathbf u_2 = a+\theta$.

III) l'effet Doppler est un avatar de l'étude de $\mathbf u_2- \mathbf u_1$ sous l'action de $\mathcal L^0$ et rien d'autre. Il importe d'avoir à l'esprit que la quantité $q(\mathbf u_2- \mathbf u_1)$ est invariante par changement de référentiel.
Notamment dans les repères où la distance spatiale entre $\mathbf u_1$ et $\mathbf u_2$ est grande, la différence entre leurs coordonnées temporelles sera grande aussi ("décalage vers le rouge").
Il faut également garder à l'esprit que cette différence n'a rien à voir avec $\theta$.

christophe c a écrit:

Essaies-tu de me dire que tu nies carrément l'existence de points matériels se déplaçant et ne reconnais que les "trajectoires"? Parce que tu présentation des trajectoires à flash me parait quand-même sacrément politique pour une notion aussi simple non?

En RR il y a des événements (éléments de $\R^4$, je vais désormais noter $\R$ au lieu de $K$) et les trajectoires son des éléments de $\R^4$.

Et non il n'y a pas d'erreur; il suffit juste de dire de qui on parle (un point de vue est un repère Lorentzien).