Stricte convexité de $L^p(\R)$
Bonjour
J'ai un peu de mal avec cette question qui semble toute bête.
Comment montrer que pour $p \in\, ]1,+\infty[,\ L^p(\mathbb{R})$ est strictement connexe, en supposant $\Vert u \Vert_p =\Vert v \Vert_p =1,\ \forall u,v \in L^p(\mathbb{R})$ ?
Ça me fait un peu penser à la preuve de l'inégalité de Minkowski mais je ne vois pas du tout comment parvenir au résultat. Je dois passer à coté de quelque chose car ça ne me semble pas si compliqué que ça à démontrer ...
Merci par avance,
Bon week-end à tous.
J'ai un peu de mal avec cette question qui semble toute bête.
Comment montrer que pour $p \in\, ]1,+\infty[,\ L^p(\mathbb{R})$ est strictement connexe, en supposant $\Vert u \Vert_p =\Vert v \Vert_p =1,\ \forall u,v \in L^p(\mathbb{R})$ ?
Ça me fait un peu penser à la preuve de l'inégalité de Minkowski mais je ne vois pas du tout comment parvenir au résultat. Je dois passer à coté de quelque chose car ça ne me semble pas si compliqué que ça à démontrer ...
Merci par avance,
Bon week-end à tous.
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Réponses
C'est quoi cette chose un espace strictement connexe ?. Il semble que tu cherches à montrer que la boule unité de L^p est strictement convexe!
Oui j’ai mal formulé l’énoncé. Cela dit je ne vois pas mieux comment faire, si je prends $a \in ]0,1[$, je veux montrer que $ \Vert au +(1-a)v \Vert _p <1$. Mais je ne sais pas comment faire et d’où partir...
Bonne journée
Tu as essayé d'utiliser la définition de la norme ? C'est la première idée qui devrait venir, sauf si cette question fait suite à des propriétés particulières.
Cordialement.
J’utilise la propriété de l’inégalité triangulaire puis l’homogénéité de la norme. Mais dans ce cas, j’obtiens $\leq 1$, pourquoi est ce que l’inégalité serait stricte ?
Merci
J’exprime ceci sous forme d’une intégrale, puis inégalité triangulaire sous l’intégrale...
Il est bien connue que le cas d’égalité dans l’inégalité $\|f+g\|_p \leq \|f\|_p+\|g\|_p$ est lorsque $f=\lambda g$
$\Vert au +(1-a)v \Vert _p =1$, alors ...
Bonne journée
Ajout : totem explique nous pourquoi ça ne marche plus pour $p=1$ ou $p=+\infty$ ?
Mais ça m'intrigue...surtout pour $p=1$ !
Comme totem, le cas $p=1$ m'intrigue particulièrement ... mais je ne vois vraiment pas comment démontre que c'est faux .
Totem: La seule différence entre toi et moi dans cette affaire c'est que moi j'ai connu ces contres :-D
Et si on passe à $p=2$ chez Mr Hilbert ou $p=3.5$, hop ça marche ?! fantastique...
Je ne vois pas quels contre exemples prendre...
[Hermann Minkowski (1864-1909) prend toujours une majuscule. AD]
2) Soient $A$ et $B$ deux ensembles mesurables disjoints de mesure finie et non nulle.
Pour $p$ infini tu prends $f=\mathbf{1}_A$ et $g=\mathbf{1}_{A\cup B}$.
Pour $p=1$, on prend $\displaystyle f=\frac {\mathbf{1}_A}{m(A)}$ et $\displaystyle g=\frac {\mathbf{1}_B}{m(B)}$