Stricte convexité de $L^p(\R)$

fifi21
fifi21
dans Analyse
Bonjour
J'ai un peu de mal avec cette question qui semble toute bête.

Comment montrer que pour $p \in\, ]1,+\infty[,\ L^p(\mathbb{R})$ est strictement connexe, en supposant $\Vert u \Vert_p =\Vert v \Vert_p =1,\ \forall u,v \in L^p(\mathbb{R})$ ?

Ça me fait un peu penser à la preuve de l'inégalité de Minkowski mais je ne vois pas du tout comment parvenir au résultat. Je dois passer à coté de quelque chose car ça ne me semble pas si compliqué que ça à démontrer ...
Merci par avance,
Bon week-end à tous.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,
    C'est quoi cette chose un espace strictement connexe ?. Il semble que tu cherches à montrer que la boule unité de L^p est strictement convexe!
    Le 😄 Farceur


  • fifi21
    fifi21
    Bonjour,

    Oui j’ai mal formulé l’énoncé. Cela dit je ne vois pas mieux comment faire, si je prends $a \in ]0,1[$, je veux montrer que $ \Vert au +(1-a)v \Vert _p <1$. Mais je ne sais pas comment faire et d’où partir...

    Bonne journée
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu as essayé d'utiliser la définition de la norme ? C'est la première idée qui devrait venir, sauf si cette question fait suite à des propriétés particulières.

    Cordialement.
  • fifi21
    fifi21
    Bonjour,
    J’utilise la propriété de l’inégalité triangulaire puis l’homogénéité de la norme. Mais dans ce cas, j’obtiens $\leq 1$, pourquoi est ce que l’inégalité serait stricte ?
    Merci
  • gerard0
    gerard0
    Ce n'est pas ce dont j'ai parlé.
  • fifi21
    fifi21
    Ok j’ai mal lu.
    J’exprime ceci sous forme d’une intégrale, puis inégalité triangulaire sous l’intégrale...
  • gebrane
    gebrane
    fifi une indication
    Il est bien connue que le cas d’égalité dans l’inégalité $\|f+g\|_p \leq \|f\|_p+\|g\|_p$ est lorsque $f=\lambda g$
    Le 😄 Farceur


  • fifi21
    fifi21
    Oui je connais cette propriété, mais à quel moment l’utiliser ?
  • gebrane
    gebrane
    Tu veux montrer que $\Vert au +(1-a)v \Vert _p <1$, Bah si
    $\Vert au +(1-a)v \Vert _p =1$, alors ...
    Le 😄 Farceur


  • fifi21
    fifi21
    Je vois, merci !
    Bonne journée
  • totem
    totem
    @gebrane : ...alors $u=v$ ??
  • gebrane
    gebrane
    totem (tu)

    Ajout : totem explique nous pourquoi ça ne marche plus pour $p=1$ ou $p=+\infty$ ?
    Le 😄 Farceur


  • totem
    totem
    @gebrane : j'aimerais bien mais je ne sais pas :-D

    Mais ça m'intrigue...surtout pour $p=1$ !
  • fifi21
    fifi21
    moi aussi j'aimerais savoir pourquoi ça ne marche pas pour les cas $p=1, p=\infty$
    Comme totem, le cas $p=1$ m'intrigue particulièrement ... mais je ne vois vraiment pas comment démontre que c'est faux .
  • gebrane
    gebrane
    Chercher un contre exemple avec des fonctions de type $1/\mu(A)$ pour p=1 et avec l’indicatrice d'un ensemble pour $p=\infty$

    Totem: La seule différence entre toi et moi dans cette affaire c'est que moi j'ai connu ces contres :-D
    Le 😄 Farceur


  • totem
    totem
    @gebrane : ah ok :-D

    Et si on passe à $p=2$ chez Mr Hilbert ou $p=3.5$, hop ça marche ?! fantastique...
  • fifi21
    fifi21
    Bonjour,
    Je ne vois pas quels contre exemples prendre...
  • gebrane
    gebrane
    avant de te donner les contres. explique moi pourquoi ca ne marche pas le raisonnement pour p=1 ;-)
    Le 😄 Farceur


  • fifi21
    fifi21
    le cas d'égalité dans l'inégalité de [large]M[/large]inkowski n'est valable que pour p>1.

    [Hermann Minkowski (1864-1909) prend toujours une majuscule. AD]
  • gebrane
    gebrane
    1) À revoir ta dernière réponse.

    2) Soient $A$ et $B$ deux ensembles mesurables disjoints de mesure finie et non nulle.

    Pour $p$ infini tu prends $f=\mathbf{1}_A$ et $g=\mathbf{1}_{A\cup B}$.

    Pour $p=1$, on prend $\displaystyle f=\frac {\mathbf{1}_A}{m(A)}$ et $\displaystyle g=\frac {\mathbf{1}_B}{m(B)}$
    Le 😄 Farceur


  • fifi21
    fifi21
    merci !
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