La fonction $(s,t)\mapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t))$ est continue (pourquoi ?). Que vaut-elle sur la diagonale $\Delta = \{(s,t) : s=t\}$ ? Que peut-on en déduire pour les couples $(s,t)$ proches de la diagonale ?
1) La fonction $(s,t) \mapsto {u(s) \over u(t)}$ est continue car $u$ ne s'annule pas. La partie réelle d'une fonction continue est continue.
2) Elle vaut $1$ sur la diagonale $\Delta$.
3) Si $(s,t)$ sont proche de la diagonale alors $ (s,t)\mapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) >0$
Maintenant pour essayer de répondre à la 4). Soit un boule centré en $(1,1)$ pour la norme $1$ c'est à dire
$$
|(a,b)|_{1} = |a| + |b|.
$$ Il existe un $n$ un entier non nul tel que si $(x,y) \in B((1,1),{1 \over n})$ alors $\mathfrak{Re}(u(x)/u(y)) >0$
D'où
$$
|s-t| \le |s-1| + |t-1| \le {1 \over {n} } \Rightarrow \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) >0 .
$$ Ce qui me gênait c'est qu'on remarque que $n$ ne dépend pas de $t$ ainsi je ne peux pas utiliser simplement la continuité en $t$ de la [fonction]
$$
s \longmapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) .
$$
Bon donc en chaque point $x$ de la diagonale tu trouves une boule ouverte $B(x,\varepsilon_x )$ telle que blablabla. Tu voudrais montrer qu'on peut choisir un $\varepsilon$ indépendant de $x$, ça ne te rappelle rien comme genre de situation ?
En effet ! $|s-t| \le \frac 1 n$ n'implique pas du tout $|s-1| + |t-1| \le \frac 1 n$...
Pourquoi avoir choisi seulement la boule centrée en $(1,1)$ ? La continuité de ta fonction à deux variables est vraie sur tout le carré $[0,1]^2$, donc elle est vraie sur toute la diagonale $\Delta$...
Attention je n'ai pas fait cette erreur ! Je n'ai pas supposé que $|s-t| \le \frac 1 n$ j'ai simplement utilisé l'inégalité triangulaire ce que j'ai écrit est vrai juste ça ne répond pas à la question.
Si les couples te mettent mal à l'aise, peut-être qu'écrire u = x + iy et exprimer la partie réelle de ton rapport te ramènera à des arguments plus simples. Bon, tu n'as pas l'air d'être dans une première année normale après.
Tu as une application continue qui vaut $1$ sur $\Delta$, donc elle est strictement positive au voisinage de chaque point de $\Delta$.
Le problème, c'est que ce voisinage (son diamètre) dépend du point de $\Delta$ choisi... Comment uniformiser tout cela ??
Oui c'est la continuité uniforme de l'application $g(t):=\frac {u(t)}{|u(t)|}$ sur $[0,1]$, il existe $n$ tel que pour tout $s,t$, avec $|t-s|<1/n$, on ait $$|g(t)-g(s)|< \text{par exemple }\sqrt 2
On écrit la continuité uniforme : il existe $n >0$ tel que, si $x$ et $y$ sont deux points du carré $[0,1]^2$ tels que $|x-y|_1 \le \frac 1 n$, alors $|\varphi(x)-\varphi(y)| < 1$. En prenant $x=(s,s)$, on trouve en particulier, en prenant $y=(s,t)$ : $$|s-t| \le \frac 1 n \implies \varphi((s,t)) > 0 $$
Autre question pour la 2) c) quelqu'un connaît-il un raisonnement direct ? Je veux dire une construction. Si ce n'est pas clair laissez-moi vous montrer sur le 2) b) ce que j'entends par construction. Dans le plan complexe on cherche à calculer l'argument, bon ben une possibilité est d'écrire
$$
z = r\big(\cos(\theta) + \sin(\theta)\big)
$$ lorsque $z$ n'est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire $\cos(\theta)$ non nul, alors on peut diviser $\quad
{y \over x } = \tan(\theta) .
$
D'où la formule pour $\theta$ choisi entre $]-\pi/2 ; \pi/2[$
$$
\theta = \text{arctan}\left({ y \over x} \right)
$$ Je me rends compte que pour avoir un $\theta$ bien choisi se restreindre encore un peu plus disons, $\quad
\mathfrak{Re}(z) > 0
$
C'est d'ailleurs ce que demande la question 2) b) après un rapide coup d’œil.
C'est une petite question bonus, franchement je pense que le plus important pour moi c'est le 5) b) parce que je n'ai aucune sombre idée de ce qu'il me cuisine mais je mange quand même !:)o
Pour l'exercice de gebrane. Si $\mathfrak{Re} \left( { z_{1} \over z_{2}} \right) > 0$ en utilisant le fait que $\bar{z_{2}} = {1 \over z_{2}}$ alors
$$
| z_{1} - z_{2} |^{2} = |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} - 2 \mathfrak{Re}\left( z_{1} \bar{z_{2}} \right) \le 2
$$
Et réciproquement si $| z_{1} - z_{2} | \le \sqrt{2}$ on utilise la même formule et on a l'équivalence en fait.
@side : J'ai bien précisé la moitié de plan sur laquelle je me place dans mon post et pour l'explication vous avez la flemme d'en dire plus ? Je ne peux que comprendre :)o.
Sinon je cherche le bon argument pour prouver la continuité de
$$
|f(x)|^{z} f(x) \over |f(x)|
$$
si $f(x)\ne 0$ et $0$ sinon. Avec $ z\in \mathbb{C}$ et $f$ à valeur réelle, C infini à support compact. (La continuité en $x \in \mathbb{R}^{n}$)
En fait y a deux ouverts sur lesquelles elle est continue $f>0$ et $f<0$ et au y a un fermé $f=0$ et après essayer de bricoler une continuité sur tout ça, c'est pas direct dans $\R^{n}$.
Après gebrane, votre idée pouvez-vous m'en dire plus car, je vais peut-être vous surprendre mais, je l'avais remarqué !
Réponses
1) La fonction $(s,t) \mapsto {u(s) \over u(t)}$ est continue car $u$ ne s'annule pas. La partie réelle d'une fonction continue est continue.
2) Elle vaut $1$ sur la diagonale $\Delta$.
3) Si $(s,t)$ sont proche de la diagonale alors $ (s,t)\mapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) >0$
Maintenant pour essayer de répondre à la 4). Soit un boule centré en $(1,1)$ pour la norme $1$ c'est à dire
$$
|(a,b)|_{1} = |a| + |b|.
$$ Il existe un $n$ un entier non nul tel que si $(x,y) \in B((1,1),{1 \over n})$ alors $\mathfrak{Re}(u(x)/u(y)) >0$
D'où
$$
|s-t| \le |s-1| + |t-1| \le {1 \over {n} } \Rightarrow \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) >0 .
$$ Ce qui me gênait c'est qu'on remarque que $n$ ne dépend pas de $t$ ainsi je ne peux pas utiliser simplement la continuité en $t$ de la [fonction]
$$
s \longmapsto \mathfrak{Re}(u(s)/u(t)) .
$$
Pourquoi avoir choisi seulement la boule centrée en $(1,1)$ ? La continuité de ta fonction à deux variables est vraie sur tout le carré $[0,1]^2$, donc elle est vraie sur toute la diagonale $\Delta$...
Le problème, c'est que ce voisinage (son diamètre) dépend du point de $\Delta$ choisi... Comment uniformiser tout cela ??
$$ donc ...
$$
|(s,s) - (x,y)|_{1} = |x-s|+|y-s|
$$
Ajout: je ne vois pas comment faire pour la question 4.b
$$
z = r\big(\cos(\theta) + \sin(\theta)\big)
$$ lorsque $z$ n'est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire $\cos(\theta)$ non nul, alors on peut diviser $\quad
{y \over x } = \tan(\theta) .
$
D'où la formule pour $\theta$ choisi entre $]-\pi/2 ; \pi/2[$
$$
\theta = \text{arctan}\left({ y \over x} \right)
$$ Je me rends compte que pour avoir un $\theta$ bien choisi se restreindre encore un peu plus disons, $\quad
\mathfrak{Re}(z) > 0
$
C'est d'ailleurs ce que demande la question 2) b) après un rapide coup d’œil.
C'est une petite question bonus, franchement je pense que le plus important pour moi c'est le 5) b) parce que je n'ai aucune sombre idée de ce qu'il me cuisine mais je mange quand même !:)o
L'idée m'est venu grâce à un exercice L1
pourquoi tu as attendu jusqu’à ce que la réponse soit affichée ?:-D
J'avoue, j'ai réfléchi à la question que quelques minutes
Je dis juste ça parce que tu m'as déjà lancé une pique par le passé, c'est ma petite revanche !
$$
| z_{1} - z_{2} |^{2} = |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} - 2 \mathfrak{Re}\left( z_{1} \bar{z_{2}} \right) \le 2
$$
Et réciproquement si $| z_{1} - z_{2} | \le \sqrt{2}$ on utilise la même formule et on a l'équivalence en fait.
$$
|f(x)|^{z} f(x) \over |f(x)|
$$
si $f(x)\ne 0$ et $0$ sinon. Avec $ z\in \mathbb{C}$ et $f$ à valeur réelle, C infini à support compact. (La continuité en $x \in \mathbb{R}^{n}$)
Si vous avez une idée.
Après gebrane, votre idée pouvez-vous m'en dire plus car, je vais peut-être vous surprendre mais, je l'avais remarqué !