Limite de la fonction réciproque
Bonjour,
Soit $f : ]0,+\infty[ \rightarrow ]0,+\infty[$ bijective. Je me demande si l'implication suivante est vraie : si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$ et si $f=f^{-1}$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x)=+\infty$.
Ca me semblait évident de prime abord mais je n'en suis plus si sûr.
Merci d'avance pour vos suggestions.
Michal
Soit $f : ]0,+\infty[ \rightarrow ]0,+\infty[$ bijective. Je me demande si l'implication suivante est vraie : si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$ et si $f=f^{-1}$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x)=+\infty$.
Ca me semblait évident de prime abord mais je n'en suis plus si sûr.
Merci d'avance pour vos suggestions.
Michal
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Réponses
J’entends par là que la limite peut ne pas exister.
Par exemple on part de $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ pour les réels strictement positifs, c’est une bijection.
Puis on modifie les entiers non nuls et inverses d’entiers non nuls dont l’ensemble est noté $E$.
Pour tout $x\in E,\ g(x)=x$.
Pour tout $x \in \mathbb R_+^* \setminus E, \ g(x)=f(x)$.
Sauf erreur.
Si $f$ est continue, elle sera alors monotone et on doit pouvoir conclure sans soucis que le résultat annoncé est vrai.
Ou alors on modifie la conclusion : l’infini est une valeur d’adhérence au voisinage de $0$.
@Dom : Sauf erreur, la fonction que tu proposes ne convient pas puisque $g(n)=n$ pour tout entier $n\geqslant 1$, donc $g$ ne tend pas vers 0 en $+\infty$.
@Poirot : Ta définition donne que $f(1-1/n)=1/n$ donc que $f(1/n)=1-1/n$. Mais comment tu définis $f$ ailleurs ?
Par exemple, en détaillant l'idée de Poirot,on définit $F=\{\frac{1}{n},n\in\N^*\}\cup\{1-\frac{1}{n},n\in\N^*\}$ et $f$ qui à $x\in F$ associe $1-x$ et à $x\notin F$ associe $\frac{1}{x}$. Alors $f\circ f=Id$, $f$ a pour limite $0$ en $+\infty$ mais $f$ n'a pas de limite en $0$.
Il va falloir être plus malin...
Édit : je viens de voir le dernier message.
Si ça oscille, attention, il faut garder le caractère bijectif.
(osciller, dans mon esprit tordu, c’est au moins continue... c’est pour ça que je mets en garde)
On considère donc, de $\mathbb R_+^*$ dans $\mathbb R_+^*$, $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$.
On construit $g$ toujours de $\mathbb R_+^*$ dans $\mathbb R_+^*$ :
Pour tout $x\in [1;+\infty[$, $g(x)=f(x)$.
Pour tout $x\in ]0;1[$, $g(x)=f(1-x)$.
Sauf erreur, ça marche.
Si je ne me suis pas trompé voilà ce que j’ai voulu faire :
l’idée est d’appliquer une symétrie d’axe $x=\frac{1}{2}$ à la courbe de $f$ restreinte à $]0;1[$.
Ça assure la bijection et la limite en $0$ existe et vaut $1$.
STOP ! J’ai oublié $f=f^{-1}$.
La limite en l’infini est $0$.
La courbe de $f^{-1}$ est symétrique à celle de $f$ par rapport à la droite $y=x$.
Ainsi, l’asymptote horizontale $y=0$ (pour $f$) a pour image l’asymptote verticale $x=0$ (pour $f^{-1}$... mais pour $f$ aussi du coup !).
J’avoue avoir zappé cette hypothèse $f=f^{-1}$.
Ce théorème est-il vrai ?
Quelle que soit la fonction $f$ bijective de $\mathbb R_+^*$ vers $\mathbb R_+^*$. (correction liée à la suite)
si la limite de $f$ en l’infini existe et est nulle, alors la limite en $0$ de $f^{-1}$ est l’infini.
Remarque : si on a des trous, la limite de $f$ n’est pas $0$ ou bien la fonction n’est pas bijective.
Sauf si je n’ai pas compris.
Sur le dessin, c’est clair : quel que soit $\varepsilon >0$, la fonction $f$ passe au bout d’un moment sous $y=\varepsilon$.
On symétrise et c’est $f^{-1}$ qui passe à gauche de $x=\varepsilon$, a partir d’un moment proche de $0$.
Bon mon théorème doit être démontré, c’est de la taupe, non ?
$C_f$ et $C_{f^{-1}}$ ne sont pas symétriques par rapport à $\mathcal D_{y=x}$ ?
si la limite de $f$ en l’infini existe et est
$\ell$, alors la limite en $\ell$ de $f^{-1}$ est
l’infini.
Tu prends $f(x)= \arctan(x)$ et $\ell=\frac{\pi}{2}$.
Ce n'est pas une "bonne" bijection de $\R_+^*$. J'ai corrigé plus haut, c'est un passage qui était ambigu certainement.
En fait je ne comprends pas ce que tu dis : en $\pi /2$, ça tend bien vers l'infini.
Ou alors tu considère des ensembles de définition coquins ?
L'exemple imaginé dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2166318,2167232#msg-2167232 voir dessin. On a bien que f^-1 qui tend vers $\pi /2$ en $+\infty$ mais f n'admet pas de limite en $\pi /2$
:-D
On pose :
g(n) = n si n est négatif et impair,
g(n) = -2n si n est positif,
g(n) = -n/2 si n est négatif et pair.
Post-Scriptum Y-a-t-il des assurances pour les doigts?
En revanche, la proposition de Siméon m'a l'air de convenir. (tu)
Je ne vois pas comment construire un contre-exemple en s'inspirant de Simeon dans le cas $\R^+$. Dans le cas $\R$, comme l'a expliqué Simeon, on définit les valeurs de $f$ dans $\Z$ et à l'extérieur par $-id$. Mais dans le cas $]0,+\infty[$, faut-il définir les valeurs de $n$ et de $1/n$ ? Et comment ?
Posons $E= \{\exp(n)\mid n\in\Z\}$.
On définit $f$ sur $\R_+^*$ par :
- $f(x)=x^{-1}$ si $x\notin E$,
- $f(x)=x^{-2}$ si $x\in E$ et $x> 1$,
- $f(x)=x^{-1/2}$ si $x\in E$ et $-\ln(x)\in2\N$,
- $f(x)=x$ si $x\in E$ et $-\ln(x) \in 2\N+1$
Alors $f\circ f=Id_{\R_+^*}$, $f$ a pour limite $0$ en $+\infty$ mais $f$ n'a pas de limite en $0$.[Le graphe de $f$ serait le bienvenu :-S AD]