Minimum en dimension infinie

Bonjour
Quels sont les moyens dont on dispose pour montrer qu'un minimum est atteint dans un espace de dimension infinie ?

Est-ce qu'en dimension infinie, le théorème $f$ continue sur un compact alors l'infimum est atteint, reste vrai ?
Ou on utilise à la place des théorèmes de compacité, pour montrer par exemple, que si on a une suite minimisante alors elle converge dans le bon espace ?

Merci d'avance !