Densité de GL(E) dans L(E)-dimension infinie

Nph
Nph
dans Analyse
Bonjour,

Si E est un R-espace de Banach, je me demandais si GL(E) était dense dans L(E) muni de la norme subordonnée à celle rendant E complet.

Je suis tombé sur ce topic datant de 17 ans (sic) et notamment de cette réponse de Vincent : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,55171

J'ai en revanche du mal à comprendre pourquoi, en reprenant les notations de Vincent, u doit être de norme supérieure à 1, et ce en malmenant comme j'ai pu des inégalités de norme.

Si une âme charitable pouvait m'éclairer, je suis lui en serai fort reconnaissant.

Nph

Réponses

  • Borelline
    Borelline
    Si tu cherches un antécédent v à la suite (1,0,...,0,...)

    $T(v) + u(v) = (1,...,0,...) \Rightarrow u(v) = (1,-v_0,...,-v_k,...)$ donc $\|u(v)\|_1 = 1 + \|v\|_1$ et je te laisse conclure :)
  • Nph
    Nph
    C'est super, merci infiniment Borelline !!
  • christophe c
    christophe c
    Soit $E$ un Banach. On norme $L(E,E)$ avec $||f|| := sup ||f(x)||$ , quand $x$ parcourt la boule unité et ne garde que les bornées, qui forment l'espace $T$.

    Supposons que l'ensemble des éléments de $T$ qui sont des bijections soit dense dans $L(E,E)$. Est-ce qu'alors forcément $E$ est de dimension finie?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je l'ai référencé ici: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2167084#msg-2167084

    Merci pour ce fil.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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