Vérifier la solution d'un problème

evariste21 · January 2021

Bonjour,

En étudiant un problème d'équations fonctionnelles, nous avons qu'il semble que $g(x)=\frac{1}{\left( x-1 \right)}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{{{x}^{{{2}^{k-1}}}}}}$ s'inscrire dans l'équation$g({{x}^{2}})+g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-x}$

Ma question est-elle correcte? J'ai du mal à vérifier la solution.

Merci d'avance

Math Coss · January 2021

La somme se calcule (somme des termes d'une suite géométrique), la limite se calcule (pas pour tous les $x$) et elle est assez simple pour pouvoir calculer $g(x^2)+g(x)$.

JLT · January 2021

Ce n'est pas une suite géométrique. Je trouve que $(x-1)g(x)+(x^2-1)g(x^2)=\frac{1}{x}$.

gebrane · January 2021

Je ne vois pas une somme d'une suite géométrique
edit grillé par JLT

YvesM · January 2021

Bonjour,

Quelle est l’équation fonctionnelle originale ? La limite de la série ne se calcule pas explicitement.

gebrane · January 2021

Effacé, non pertinent

evariste21 · January 2021

Merci beaucoup pour vos commentaires. Comme je ne suis qu'un membre du forum, je ne sais toujours pas si je devrais répondre à vos questions dans mon premier post, je peux y répondre ici, je vous serais très reconnaissant si vous pouviez me donner quelques indications.

Quoi qu'il en soit, le problème initial est de déterminer s'il existe une fonction continue pour tout $ x> 0 $ telle que $g(x^2)+g(x)=\frac{1}{x^{2}-x}$.

bisam · January 2021

Je suppose que tu cherches une fonction $g$ définie sur $]0,1[$ seulement car sinon, il y a un problème en $1$ !
Dans ce cas, tu peux commencer par écrire que \[\forall k\in\N, g(x^{2^{k+1}})-g(x^{2^k})=\frac{1}{x^{2^{k+1}}-x^{2^k}}.
\] Ensuite, tu sommes ces égalités multipliées par $(-1)^k$.
Il restera néanmoins à utiliser un argument sur une éventuelle limite finie de $g$ en 0.

Ce serait tout de même plus facile de te répondre avec un énoncé précis et COMPLET !