Vérifier la solution d'un problème
dans Analyse
Bonjour,
En étudiant un problème d'équations fonctionnelles, nous avons qu'il semble que $g(x)=\frac{1}{\left( x-1 \right)}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{{{x}^{{{2}^{k-1}}}}}}$ s'inscrire dans l'équation$g({{x}^{2}})+g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-x}$
Ma question est-elle correcte? J'ai du mal à vérifier la solution.
Merci d'avance
En étudiant un problème d'équations fonctionnelles, nous avons qu'il semble que $g(x)=\frac{1}{\left( x-1 \right)}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{{{x}^{{{2}^{k-1}}}}}}$ s'inscrire dans l'équation$g({{x}^{2}})+g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-x}$
Ma question est-elle correcte? J'ai du mal à vérifier la solution.
Merci d'avance
Réponses
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La somme se calcule (somme des termes d'une suite géométrique), la limite se calcule (pas pour tous les $x$) et elle est assez simple pour pouvoir calculer $g(x^2)+g(x)$.
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Ce n'est pas une suite géométrique. Je trouve que $(x-1)g(x)+(x^2-1)g(x^2)=\frac{1}{x}$.
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Je ne vois pas une somme d'une suite géométrique
edit grillé par JLTLe 😄 Farceur -
Bonjour,
Quelle est l’équation fonctionnelle originale ? La limite de la série ne se calcule pas explicitement. -
Effacé, non pertinentLe 😄 Farceur
-
Merci beaucoup pour vos commentaires. Comme je ne suis qu'un membre du forum, je ne sais toujours pas si je devrais répondre à vos questions dans mon premier post, je peux y répondre ici, je vous serais très reconnaissant si vous pouviez me donner quelques indications.
Quoi qu'il en soit, le problème initial est de déterminer s'il existe une fonction continue pour tout $ x> 0 $ telle que $g(x^2)+g(x)=\frac{1}{x^{2}-x}$. -
Je suppose que tu cherches une fonction $g$ définie sur $]0,1[$ seulement car sinon, il y a un problème en $1$ !
Dans ce cas, tu peux commencer par écrire que \[\forall k\in\N, g(x^{2^{k+1}})-g(x^{2^k})=\frac{1}{x^{2^{k+1}}-x^{2^k}}.
\] Ensuite, tu sommes ces égalités multipliées par $(-1)^k$.
Il restera néanmoins à utiliser un argument sur une éventuelle limite finie de $g$ en 0.
Ce serait tout de même plus facile de te répondre avec un énoncé précis et COMPLET ! -
S'il y a une limite en $0^+$, elle ne saurait être finie (faire directement tendre $x$ vers $0$ dans l'équation fonctionnelle).
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Bonjour!
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