C'est quoi $k$ et pourquoi ce point d’interrogation ? Fais la démonstration, il n'y a pas d'hésitations à avoir.
Ok pour la norme, mais dans ce cas là le résultat est faux, il te manque des hypothèses. Par exemple $x\mapsto x$ est lipschitzienne mais elle est non bornée sur $\R$.
Pour moi on a $\forall x,y \in \mathbb{R}, \vert( f(x)-f(x0))/(x-x_0) \vert <= K$ puisque $f$ est lipschitzienne.
La dérivée étant la limite du taux d'accroissement quand $x$ tend vers $x_0$, on a $\vert f'\vert <K$ DONC $ \Vert f' \Vert <K$, je ne vois pas ce que je pourrais dire d'autre
Partout où la limite de la valeur absolue du taux d'accroissement existe, cette limite est inférieure ou égale à $K$. Bon par contre tu n'as toujours pas dit de quelle norme tu parles, même si on s'en doute.
Bonjour Poirot,
Il me manquait cet argument.
Pour la norme, il me semble l’avoir précisé dans un post précédent, c’est le sup de la valeur absolue.
Merci
Bonne journée
Réponses
Sinon tu n'as pas précisé de quelle norme tu parlais.
Corto, oui justement j'ai essayé avec la définition mais je n'y arrive pas ...
\[
\sum_{n=1}^N |f(b_n)-f(a_n)| \text{ ? }
\] Comme je l'ai dit c'est une application directe des définitions.
Et tu n'as toujours pas précisé ce que tu entendais par $\|f\|$...
Pour la norme, j'entends le sup de la valeur absolue,
Ok pour la norme, mais dans ce cas là le résultat est faux, il te manque des hypothèses. Par exemple $x\mapsto x$ est lipschitzienne mais elle est non bornée sur $\R$.
Pour la norme, erreur de frappe, c'est $\Vert f' \Vert$. Comment montrer dans ce cas qu'elle est bornée si $f$ est lipschitzienne ?
La dérivée étant la limite du taux d'accroissement quand $x$ tend vers $x_0$, on a $\vert f'\vert <K$ DONC $ \Vert f' \Vert <K$, je ne vois pas ce que je pourrais dire d'autre
Il me manquait cet argument.
Pour la norme, il me semble l’avoir précisé dans un post précédent, c’est le sup de la valeur absolue.
Merci
Bonne journée