Dérivée de $x\mapsto\ln(x)$
Réponses
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Ça dépend de ta définition de la fonction $\ln$ (et pas $\ln(x)$, qui est un nombre), quelle est-elle ?
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Je veux simplement trouver la dérivée de $\ln$ grâce au taux d'accroissement.
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Tu vas tourner en rond si ta définition de $\ln$ est la primitive de la fonction inverse qui s'annule en $1$. Si tu disposes d'une autre définition de $\ln$, il y a potentiellement quelque chose à faire, mais en l'état ta question est imprécise.
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Ok. Pourtant pour une fonction comme $f(x) =2x+3$ c'est très facile avec le taux d'accroissement. Pourquoi ce n'est pas possible directement avec $\ln$ ?
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Lauze:
Quelle est ta définition de la fonction logarithme ? -
$f(x) =\ln(x) =\displaystyle \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\, \mathrm{d}t$.
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Ce qui signifie que la fonction logarithme est l'unique fonction primitive de la fonction $f(x)=1/x$ définie sur $]0;\infty[$ qui s'annule en $1$.
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Oui c'est $\ln$ je ne vois pas où est le problème. Pour le taux d'accroissement ?
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Bon, attention, si la définition de $\int$ n’est que « l’aire sous la courbe », on a le droit de ne pas savoir que la dérivée est le truc qui est sous le $\int$.
Alors oui, vas-y, étudie le taux d’accroissement et montre-nous tes calculs. -
Lauze:
C'est chercher midi à quatorze heures.
Si tu insistes:
$h>0,a>0$.
$\displaystyle \int_1^{a+h} \dfrac{1}{t}dt-\int_1^{a} \dfrac{1}{t}dt=\int_a^{a+h} \dfrac{1}{t}dt$
$\displaystyle \dfrac{1}{a+h}\leq \dfrac{1}{h}\int_a^{a+h} \dfrac{1}{t}dt\leq \dfrac{1}{a}$
Il n'y a plus qu'à faire tendre $h$ vers $0$
On peut faire de même pour $h<0$. (mais il faut faire attention à ce qu'on fait).
NB:
J'ai majoré/minoré grossièrement l'intégrale (en majorant/minorant l'intégrande sur l'intervalle d'intégration). -
Ha ! Fin de partie a fait tout le boulot.
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Désolé, je n'aurais pas dû
Je n'ai pas tout explicité. Lauze peut nous montrer comment il traite le cas $h<0$ (cela permettra de voir s'il a compris quelque chose à mon explication). -
Volontiers ! Demain ça vous va ? Car demain j'ai un contrôle de radioactivité (:D
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Lauze:
Tu es sûr que tu n'as pas piscine? X:-( -
@Dom : avec l'"aire sous la courbe" et le théorème d'encadrement, on peut savoir que la dérivée est le truc dans l'intégrale pour une fonction continue monotone (programme de term).
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Magnéthorax: sans définition rigoureuse de l'intégrale sur un segment fermé borné d'une fonction continue on tourne vite en rond.
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Ok Magnéthorax,
Sur cet exemple, pour commencer puis après peut-être que le cours sera fait.
Je ne sais pas quels sont les tenants et aboutissants de ce fil. -
@Fin de partie : donc on ne parle pas non plus de nombres, de triangles, de fonctions, de mesure ?
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Un hors sujet
En L1 comme un rappel sur les fonctions usuelles , le prof a commencé par définir d'abord la fonction exponentiel comme la seule solution de l’équation différentielle
f'-f=0 avec edit f(0)=1. merci Polka
Apres , il a défini le logarithme comme sa fonction réciproque
Je crois ça permet d’éviter de parler de l’intégraleLe 😄 Farceur -
Avec $f(0)=1$ :-)
Mais quand on sait dériver et résoudre une équation différentielle, l'intégrale n'est pas très loin, non ?
Au lycée, j'avais vu l'exponentielle définie comme tu le proposes, gebrane (existence admise il me semble ...). -
Magnéthorax:
1)Définir l'aire sous la courbe d'une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ ce n'est pas rien.
2) Dire que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive ce n'est pas rien.
etc. -
Il me semble que ça a changé.
C’était d’abord une primitive du $\ln$ puis c’est devenu la réciproque de l’$\exp$.
Je me souviens que dans des leçons de CAPES (ancienne formule) les plans se discutaient à ce sujet.
Il n’y avait pas de meilleur choix. Il fallait juste être cohérent.
J’observe, mais dites-moi si je me trompe, que la dérivation arrive toujours avant l’intégration dans les cours du supérieur.
Notamment « limite, continuité, dérivabilité ».
Et pourtant, l’intégration est plus « souple ».
Mais c’est surtout la théorie de l’intégration, quelle qu’elle soit, qui demande un pavé plus ou moins épais et donc qui semble en être la raison première.
Je demande à nouveau : est-ce que je me trompe ? Certains ont-ils déjà vu l’intégration avant la dérivation ? (Je parle des cours du supérieur). -
Dans les cours actuels de premier semestre de L1 (Sorbonne), le chapitre sur la continuité et la dérivabilité arrive avant l'intégration.
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En fait,
pour calculer des intégrales, on a très souvent besoin des primitives, donc de la dérivation. Ce n'est pas anodin.
Mais historiquement, les deux sont arrivés ensemble, le calcul intégral ("calculus" des anglo-saxons) est arrivé quand on a découvert que le "problème des aires" et le "problème des tangentes" étaient inverses l'un de l'autre et que Fermat développait des calculs de "dérivées" qui se cristallisèrent (avec Leibnitz et Newton) en calcul différentiel et intégral.
Un autre intérêt pédagogique est que la dérivation des expressions calculatoires est facile (et même automatisable), alors que le calcul des intégrales exactes (*) n'est généralement pas possible.
Cordialement.
(*) prendre ces mots dans le sens courant de la fin du lycée et le début du supérieur. -
Oui Dom en supérieur on commence pat le calcul différentiel puis le calcul intégralLe 😄 Farceur
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@Findepartie : il ne s'agit pas, bien entendu, de définir l'aire sous la courbe : définir un objet mathématique courant peut demander des développements compliqués. Ceci dit, on parle de nombres et de droites dès l'école : faudrait-il s'en priver au prétexte qu'on ne les a pas définis ? On peut admettre l'existence d'une fonction qui à chaque fonction continue positive attribue un nombre positif telle que [liste des propriétés vérifiées par l'application]. Une fois cela fait, on utilise le cours sur les limites pour démontrer que toute fonction continue positive monotone admet une primitive (voir programme de term).
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Je crois qu’il n’y a pas de réel désaccord.
Il s’agit de savoir dans quel cadre on pose cet exercice.
C’est peut-être juste un exemple avant de disposer du théorème « dans les bonnes conditions, la dérivée de $t\mapsto \int_a^t$ est ce qu’il y a sous le signe $\int$ ».
Si c’est après, en effet il n’y a rien à faire.
Si c’est après le théorème fondamentale de l’analyse, c’est pire oserais-je dire.
Si c’est après la théorie de la mesure... -
Un autre hors sujet sur les raisonnements à cercle vicieux.
Si on demande à des étudiants en L1 de prouver que (Sin x) /x tend vers 1 en 0. un bon nombre vont réciter que c'est la limite de la derivee du sinus en 0 donc égale à cos 0=1. Mais pour démonter que la dérivee du sinus est égale au cosinus, on utilise cette limite.Le 😄 Farceur -
Pour démontrer que la dérivée du sinus est cosinus, en L1, comment définit-on ces deux fonctions.
N’est-ce pas avec les séries entières ?
Édit : en effet, ici...
https://homeomath2.imingo.net/deri5.htm -
Dom on utilise le taux d accroissement et les formules de sinus d' une somme. Pour la limie en question il y a une preuve geometriqueLe 😄 Farceur
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On peut aussi refaire une preuve géométrique en encadrant avec des aires (couronnes et part de pizza), j'avais fait la démo en TD de L1 rapidement :-)
EDIT: gebrane est plus rapide que moi, ahah -
Le seul fait de savoir que:
$f(x+h)-f(x) = f(1+(h/x))$, pour tous $x,h$ blabla.
et que $f(1+ah) / h$ tend vers $a$ quand $h$ tend vers $0$ (qui que soit $a>0$)
suffit, comme tu peux le voir, à déduire que $f'(x) = 1/x$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
cc Mh intéressant! et comment démontres ce blabla
$\ln (1+ah)/h$ tend vers a quand h tend vers 0Le 😄 Farceur -
La question, c'est comment on peut définir le sinus sans savoir à peu près immédiatement que sa dérivée est le cosinus.Gebrane a écrit:Si on demande à des étudiants en L1 de prouver que $\frac{\sin x}x$ tend vers 1 en 0. un bon nombre vont réciter que c'est la limite de la dérivée du sinus en 0 donc égale à $\cos 0=1$. Mais pour démonter que la dérivée du sinus est égale au cosinus, on utilise cette limite. -
Math Coss moi j'ai connu le sinus en collège (définition géométrique), j'ai connu la dérivée très tard en lycée.Le 😄 Farceur
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bonsoir, il y a un certain nombre de définitions du logarithme népérien:
1) primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1: ceci suppose que toute fonction continue sur un segment y admet une primitive.
2) par les suites: on pose pour $a$ entier naturel: $u_n(a) = \displaystyle \sum_{k=n}^{an} \frac{1}{k} $ et on prouve toutes les propriétés nécessaires pour la limite $ L(a)$. On a besoin de la borne supérieure.
3) bijection réciproque de l'exponentielle: il faut dans ce cas une définition de l'exponentielle (voir ce que fait Rudin dans ses Principes avec la série bien connue.
Dans tous les cas, on est loin des acquis de la terminale (même de celle d'autrefois...).A demon wind propelled me east of the sun -
En effet on a tous vu un jour ou l’autre traîner une définition géométrique puis quelques démonstrations tout aussi géométriques de certaines choses.
Je ne sais pas à quelle point il s’agit de « on voit que » digne d’une entourloupe indigne.
Je n’y ai pas réfléchi. -
@gillesbenson : avec les outils disponibles en terminale, on peut construire l'exponentielle comme la solution de $y'=y, y\left(0\right)=1$ (approche d'Euler).
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@Dom : en partant des définitions géométriques de $\sin,\cos,\tan$ et en admettant que l'"aire" est une fonction croissante, ça marche. Admettre qu'il existe une fonction "aire" qui a les bonnes propriétés ne me paraît pas scandaleux. Ou alors, en toute cohérence, il faut se scandaliser de toute mention d'objet mathématique non "défini", ce qui ne paraît pas raisonnable. Bref, il faut placer le curseur entre théorie et expérience, sachant que les deux extrémités du segment ne sont pas bien définies.
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Que signifie le $\sup$ d'une intégrale ? (borne supérieur d'intégrale). Et de la même manière le $\inf$ ? Sont-ce des nombres $m$ et $M$ qui encadrent une intégrale ? Merci.
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Alors les profs au lycée, comment vous démontrez aux élèves que la dérivée du sinus est bien le cosinus (une curiosité).Le 😄 Farceur
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@gebrane, je ne le démontre pas,je le suppose :-D
Mais ta remarque est tout de même intéressante car une version proche peut être DEDUITE, vue la première hypothèse qui mine de rien est quand-même forte : pour tous a,b: f(a/b) = f(a)-f(b)
Ca donne (par exemple, je tape au hasard), que $f(a) = f(ax)-f(x)$ qui en dérivant donne $0 = af'(ax) - f'(x)$; qui donne $af'(a) = f'(1)$ (bon il se trouve que le hasard a bien fait les choses en fait)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Magnéthorax: la solution de ce type d'équation différentielle est une exponentielle; le fait d'accepter que les solutions existent montre qu'on admet quelque chose (genre l'existence de l'exponentielle); dans mes souvenirs, ils avaient collé çà
avec une histoire de radioactivité qui n'a jamais décollé et celà a mené au fiasco de l'équation différentielle logistique lors du bac S de 2003...
Edit: sinon, il y a Cauchy-Lipschtitz...A demon wind propelled me east of the sun -
Bonjour,
Autre construction possible par les suites :
1. Inégalité de Bernoulli : pour tout $n\in\N^*$, pour tout $x\in\mathopen]-1,+\infty\mathclose[$, $(1+x)^n\geq 1+nx$.
Pour tout $n\in\N^*$ et tout $x\in\mathopen]0,+\infty\mathclose[$, soit $u_n(x)=n(\sqrt[n]{x}-1)$.
2. Pour tout $n\in\N^*$ et tout $(a,b)\in(\R_+^*)^2$, $$u_{n+1}(b)-u_{n}(a)\leq \frac{b-a}{a}$$ (dans 1., changer $n$ en $n+1$, prendre $x=\sqrt[n+1]{b}/\sqrt[n]{a}-1>-1$ et multiplier par $\sqrt[n]{a}>0$).
3. Pour tout $x\in\mathopen]0,+\infty\mathclose[$, la suite $(u_n(x))_{n\in\N^*}$ est décroissante (dans 2., prendre $a=b=x$) et minorée par $1-1/x$ (dans 2., prendre $b=1$ et $a=x$) donc convergente.
Soit $\ln\colon\mathopen]0,+\infty\mathclose[\ni x\mapsto\lim_n u_n(x)$.
4. Pour tout $(a,b)\in(\R_+^*)^2$, $$\ln(b)-\ln(a)\leq \frac{b-a}{a}$$ (dans 2., faire tendre $n$ vers l'infini).
5. La fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathopen]0,+\infty\mathclose[$ et pour tout $x\in\mathopen]0,+\infty\mathclose[$, $$\ln'(x)=\frac{1}{x}$$ ("en utilisant le taux d'accroissement", se déduit immédiatement de 4.). -
Bon, devant la déferlante de déclarations savantes, et PARDON si ça fait doublon, je n'ai pas tout lu, je raconte quand-même la version "beauf" de l'histoire (ou si vous préférez la version "gilet jaune", non érudite, ni nourrie au 36 15 j'appelle les nomneclatura du 75005 :-D )
1/ On peut donner un sens à $10^x = y$ pour des nombres réels $>0$. Cela provient du fait qu'on peut le faire quand $y$ est rationnel et de la complétude de $\R$, ie $10^x=y$ quand $x$ est plus petit que tous les $r\in \Q$ tel que $10^r$ est trop grand pour valoir $y$ et idem dans l'aurte sens.
2/ Il suit vite que $10^{a-b} = 10^a/10^b$ pour tous $a,b$
3/ On a donc une fonction $f$ assez fascinante (disons qu'on est en l'an $(-489)$ ) qui transforme les produits en somme, telle que:
$$
\forall x>0: 10^{f(x)} = x.
$$ 4/ Par ma précédente réponse à gebrane, on obtient que $\forall x>0 : f'(x) = f'(1) / x$ en 3 lignes.
5/ MéZaLoR combien peut bien valoir cette mystérieuse constante de la Nature $f'(1)$ ???
6/ et THE, de chez THE suRpRaaaayiiiiZZZE historique est qu'elle vaut un nombre compliqué, qui mène à :
6.1/ $e$ tel que $\forall x>0 : e^{\ln(x)} =x$ en renormalisant et $\forall x>0: ln'(x) = 1$
6.2/ $\pi$ tel que $\forall x: e^ix = cons(x) + i\sin(x)$
7/ Et ça a finalement historiquement donné l'impression aux scientifiques après ça que si ni Tora, ni Bible, ni Coran, n'ont été des œuvres surnaturelles, par contre, quand on regarde $\pi$ et $e$ et qu'on se demande pourquoi ils ne valent pas respectivement $2$ et $5$ (par exemple), on se dit que le Dieu (le vrai) est tout de même un peu capricieux.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
De mon téléphone. En 6.1 j'ai oublié "et ln'(1)=1". Je corrigerai d'un pc.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@gilles benson : ce que je dis, c'est qu'on peut démontrer avec les outils du programme de terminale : il existe une une unique fonction $f$ réelle, définie et dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ et $f\left(0\right)=1$. C'est fait dans un document d'accompagnement d'il y a quelques années et c'est encore d'actualité.
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Magnéto : c'est assez vague cette réponse que tu fais à ton camarade car on peut tout démontrer en théorie avec les outils de l'école maternelle (par définition des maths).
Maintenant, la question se pose "en pratique" devant qui tu veux prouver ça en 2020. La proportion étant très faible même d'élèves qui peuvent reconnaitre une preuve de 2 mots de niveau CE1 du fait que c'est l'entité preuve qui est devenue absente du cursus secondaire (ceci pouvant d'ailleurs peut-être avoir joué un rôle dans la fragilité des élèves face aux sectes et à l'islamisation, mais c'est autre chose)
Les fonctions ln et exp et leur famille s'obtiennent facilement (en de hors de la preuve de leur existence) et quelque manière qu'on les présente, ce n'est pas exclusif à ton hypothèse précise par exemple. Mais il faut gérer des variables liées comme dans par exemple avec $f'=f$ la contemplation de (la preuve de) $[x\mapsto (f(a+x)/f(x)] \in Constantes$ qui finalement donne $\forall a,x: f(a+x)=g(a)f(x)$, $f=g$ résultant du CP $x:=0$ et de l'hypothèse $f(0)=1$.
L'expérience montre que quand tu "te hasardes" à signaler ces courtes lignes, tu en as (et pourquoi pas, c'est un bienfait) pour 15jours à 30 jours d'échange de courriels avec 10 à 15% des gamins fascinés (les autres s'en fichant) par les "permissions" étranges que s'est données la preuve.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@christophe c : ma réponse n'est peut être pas assez précise à tes yeux et je ne comprends pas tellement le sens de tes allusions. Pas grave. Je dis simplement qu'à partir des résultats de base sur les suites convergentes et sur les suites monotones (ça, c'est admis), on peut démontrer le théorème que je mentionne. Je ne dis pas que c'est réaliste ou souhaitable de le faire avec tous les élèves. Mais rien n'empêche de le signaler. Concernant le sens et la place de la démonstration dans le secondaire, je serais plus nuancé : je pense qu'il y a des fragments de programme où on peut et doit encore en faire. Qui d'autre sinon ?
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bonsoir, toute démonstration doit s'inscrire dans un cadre logique: axiomes, etc; si on prend le programme officiel pour ensemble des axiomes, on démontre des trucs, c'est sûr...A demon wind propelled me east of the sun
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