$W^{1,p}$ et fonctions lipschitziennes
Réponses
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Aucun rapport pour p finie: une dérivée peut être dans un L^p sans être bornée. Les exemples ne manquent pasLe 😄 Farceur
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Qu'est-ce que tu entends par "presque partout lipschitziennes" ? Le fait d'être lipschitzien est une propriété globale et non locale donc je ne sais pas trop ce que signifie le presque partout dans cette situation.
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Effectivement, je me suis mal exprimé, pardon. Poirot a bien explicité ce que je voulais dire.
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Je propose de commencer par $n=1$Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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Je suggère $f(0)=0,\ f(t)=t\sin(1/t)$ si $t\in ]0,1]$ et $f(t)=a\sin(t)/t$ si $t>1$ ($a\in\R$ est choisi pour rendre $f$ dérivable en $1$) comme contre-exemple : $f$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de $0$ par le théorème des accroissements finis.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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Ok merci, c'est plus clair dans ma tête maintenant.
Comme expliqué par gebrane les contre-exemple ne manquent pas, il n'y a pas vraiment de lien entre "$f'$ est bornée" et "$f'$ est $L^p$". Pour $n=1$ quitte à modifier un peu le problème on voit que la fonction $f : t \mapsto \sqrt t$ est dans $W^{1,1}([0;1])$ mais qu'elle n'est pas presque partout égale à une fonction lipschitzienne.
En dimension supérieur on peut trouver d'autres types de contre-exemple, il existe des fonctions qui sont dans des Sobolev qui n'admettent pas de représentant continue, elles ne peuvent donc pas être presque partout égales à des fonctions lipschitziennes.
En revanche toute fonction de $W^{1,\infty}(\R^n)$ admet un représentant lipschitzien. -
J'ai trouvé ceci...
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Ah mais c'est différent, ici ça ressemble plutôt à du $\forall \varepsilon >0, \, \exists K\subset B, \, \lambda(K)\geq \lambda(B)-\varepsilon$ et $f$ est lipschitzienne sur $K$. À l'inverse ta question était plutôt de montrer que $\exists K\subset B, \, \lambda(K)= \lambda(B)$ et $f$ est lipschitzienne sur $K$, ce qui est bien plus fort.
Prend l'exemple de $t\mapsto \sqrt t$ sur $[0;1]$, elle est lipschitzienne sur tout intervalle de la forme $[\varepsilon,1]$ mais n'est lipschitzienne sur aucun ensemble de mesure $1$. -
Merci !
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