$W^{1,p}$ et fonctions lipschitziennes

Aucun rapport pour p finie: une dérivée peut être dans un L^p sans être bornée. Les exemples ne manquent pas

@Corto : il n'est pas question d'être "presque partout lipschitzienne" mais "égale presque partout à une fonction lipschitzienne".

Je propose de commencer par $n=1$

Ok merci, c'est plus clair dans ma tête maintenant.

Comme expliqué par gebrane les contre-exemple ne manquent pas, il n'y a pas vraiment de lien entre "$f'$ est bornée" et "$f'$ est $L^p$". Pour $n=1$ quitte à modifier un peu le problème on voit que la fonction $f : t \mapsto \sqrt t$ est dans $W^{1,1}([0;1])$ mais qu'elle n'est pas presque partout égale à une fonction lipschitzienne.

En dimension supérieur on peut trouver d'autres types de contre-exemple, il existe des fonctions qui sont dans des Sobolev qui n'admettent pas de représentant continue, elles ne peuvent donc pas être presque partout égales à des fonctions lipschitziennes.

En revanche toute fonction de $W^{1,\infty}(\R^n)$ admet un représentant lipschitzien.

Ah mais c'est différent, ici ça ressemble plutôt à du $\forall \varepsilon >0, \, \exists K\subset B, \, \lambda(K)\geq \lambda(B)-\varepsilon$ et $f$ est lipschitzienne sur $K$. À l'inverse ta question était plutôt de montrer que $\exists K\subset B, \, \lambda(K)= \lambda(B)$ et $f$ est lipschitzienne sur $K$, ce qui est bien plus fort.

Prend l'exemple de $t\mapsto \sqrt t$ sur $[0;1]$, elle est lipschitzienne sur tout intervalle de la forme $[\varepsilon,1]$ mais n'est lipschitzienne sur aucun ensemble de mesure $1$.