Question norme
Soit N : Rn -> [0, +oo[ une norme avec n entier naturel non nul.
Je dois montrer qu'il existe C > 0 telle que N(x) =< C ||x||, pour tout x de Rn.
C'est quoi la définition exacte de ||.|| ? En décomposant x dans la base canonique (e1, ..., en) et en utilisant les propriétés d'homogénéité et d'inégalité triangulaire, je n'y arrive pas. Quelqu'un peut-il m'aider ? Je vous remercie.
Je dois montrer qu'il existe C > 0 telle que N(x) =< C ||x||, pour tout x de Rn.
C'est quoi la définition exacte de ||.|| ? En décomposant x dans la base canonique (e1, ..., en) et en utilisant les propriétés d'homogénéité et d'inégalité triangulaire, je n'y arrive pas. Quelqu'un peut-il m'aider ? Je vous remercie.
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Réponses
Ici $|| \cdot ||$ désigne certainement $|| \cdot ||_{\infty}$, la norme infinie définie par $||(x_1, \dots, x_n)||_{\infty} = \max(|x_1|, \dots, |x_n|)$.
Comme tu l'as dit, décomposer un vecteur dans la base canonique semble judicieux, à toi de jouer !
Maintenant avec un crayon, l’inégalité cherchée se démontre en une ligne en prenant une base.
Mais pour le choix de la norme $||.||$, toute norme $||.||_p$ convient car ces normes vérifient
$|x_i | \leq ||x||_p, \quad \forall i $ et $\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n.$