À propos de la valeur moyenne intégrale
Dans un article, en étudiant l'existence de solutions au Volterra-Hammerstein équation intégrale
$$
x (t) = \int_{0}^ {t} K (t, s) g (s, x (s)) d s, \quad t \in [0,1),
$$ où $ K \in L^{1} $ est un noyau scalaire, $ B $ est un espace de Banach et $ g: [0, T] \times B \rightarrow B $.
L'auteur a utilisé ce qui suit (dans un passage).
$$
\Big \{\int_{0}^{t} K(t, s) g (s, x (s)) ds\mid x \in \mathcal{C} ([0,1), \Big\} \subset t. \overline{\operatorname {conv}} \big \{g (s, x (s))\mid x \in \mathcal{C} ([0,1), , s \in [0, t] \big\}.
$$ Ma question concerne le noyau $ K (t, s) $, pourquoi n'est-il pas impliqué dans la deuxième partie de l'inclusion ?
Rappelons le théorème de la valeur moyenne (pour l'intégrale).
Soit la fonction $ f: I \rightarrow B $ intégrable sur $ I $, alors
$$ \int_ {J} f (s) d s \in | J | \overline {\operatorname {conv}} \big (f (J) \big),
$$ où $ J \subseteq I, \; | J | $ est la longueur de $ J $ et $ \overline {\operatorname{conv}} \big (f (J) \big) $ est l'enveloppe convexe fermée de $ f (J) $.
$$
x (t) = \int_{0}^ {t} K (t, s) g (s, x (s)) d s, \quad t \in [0,1),
$$ où $ K \in L^{1} $ est un noyau scalaire, $ B $ est un espace de Banach et $ g: [0, T] \times B \rightarrow B $.
L'auteur a utilisé ce qui suit (dans un passage).
$$
\Big \{\int_{0}^{t} K(t, s) g (s, x (s)) ds\mid x \in \mathcal{C} ([0,1), \Big\} \subset t. \overline{\operatorname {conv}} \big \{g (s, x (s))\mid x \in \mathcal{C} ([0,1), , s \in [0, t] \big\}.
$$ Ma question concerne le noyau $ K (t, s) $, pourquoi n'est-il pas impliqué dans la deuxième partie de l'inclusion ?
Rappelons le théorème de la valeur moyenne (pour l'intégrale).
Soit la fonction $ f: I \rightarrow B $ intégrable sur $ I $, alors
$$ \int_ {J} f (s) d s \in | J | \overline {\operatorname {conv}} \big (f (J) \big),
$$ où $ J \subseteq I, \; | J | $ est la longueur de $ J $ et $ \overline {\operatorname{conv}} \big (f (J) \big) $ est l'enveloppe convexe fermée de $ f (J) $.
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Réponses
Quelle est la définition de $K$ comme noyau scalaire dans $L^1$ ?
Je pense que l'auteur veut dire par ça, c'est que $K:I\times I\rightarrow \mathbb{R}$, tel que $K\in L^1(I^2)$, avec $I=[0,1]$.
P.S : ce qui est écrit exactement à propos de $K$, est
Si tu supposes $K(t,s) = 10$, trouves-tu une erreur dans sa proposition ?
Si vous pouvez développer plus, je vous serai reconnaissant.
Il manque un $K(s,s)$ à droite d'après la relation que tu donnes sur l'inégrale. La relation n'est vraie que si $|K(s,s)| \leq 1$, non ?