Transformée de Fourier - inversion

Pour ceux que ça intéresse. J'ai trouvé ce que je voulais et il est très difficile à trouver dans la littérature française. (Enfin pas trouvé)
Théorème : Soit $f \in L^1$ et $C^1$-par morceaux - c'est à dire ici que sur chaque intervalle du type $[a,b]$, il existe un nombre fini de points $a_1,...a_n$ tels que $f$ soit $C^1$ sur $]a_i,a_{i+1}[$ et prolongeable en une fonction C^1 sur $]a_i,a_{i+1}[$ (ie limite à gauche et à droite + limite de la dérivée à gauche et à droite)

Alors pour tout x, $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} = lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \hat{f}(\omega)e^{2\pi i\omega x}d\omega$


Preuve :

1) Déjà on rappelle $\int_0^{\infty} \frac{sin(Ax)}{x}dx = \frac{\pi}{2}$ pour tout $A > 0$
2) Ensuite :

$s(t_0,A) \\
= \int_{-A}^{A} \hat{f}(\omega)e^{2\pi i\omega t_0}d\omega \\
= \int_{-A}^{A} \left( \int_R f(t)e^{-2\pi i \omega t}dt \right) e^{2\pi i\omega t_0}d\omega \\
= \int_R \left( \int_{-A}^{A} e^{2\pi i \omega(t_0-t)}d\omega \right) f(t)dt \text{ (Fubini est possible ici)} \\
= \int_R \frac{2sin(2\pi A(t_0-t))}{2\pi(t_0-t)}f(t)dt
= \frac{1}{\pi} \int_R \frac{sin(2\pi Au)}{u}f(t_0-u)du
$

3)
Ensuite on sépare en 2 :
Soit $f(t_0^-)$ la limite à gauche de f en $t_0$

On a :
$\frac{2}{\pi} \int_{R_+} \frac{sin(2\pi Au)}{u}f(t_0-u)du - f(t_0^-) = \\
\frac{2}{\pi} \int_{R_+} \frac{sin(2\pi Au)}{u}(f(t_0-u) - f(t_0^-))du$

Montrons que cette quantité tend vers 0.
Ensuite l'idée est de couper en plusieurs parties.
Si $\epsilon > 0$, comme $f \in L^1$ il existe $M > 0$ tel que $\int_{M}^{\infty} |f(t_0-u)|du < \epsilon$

a) $f(t_0^-)\int_{M}^{\infty} \frac{sin(2\pi Au)}{u}du = f(t_0^-) \int_{2\pi A M}^{\infty} \frac{sin(u)}{u}du \to_{A \to \infty} 0$
b) $\int_{M}^{\infty} |\frac{sin(2\pi Au)}{u}f(u)|du \leq \int_{M}^{\infty} \frac{1}{M} |f(u)|du \leq \frac{1}{M} \epsilon$ (on peut prendre $M > 1$ mais pas grave)
c) Enfin au morceau intéressant on peut appliquer le lemme de Riemann Lebesgue. C'est bien une fonction $L^1$ car $\frac{(f(t_0-u) - f(t_0^-))}{u} \to_{u \to 0} f'(t_0^-)$ par hypothèse.
$\int_{0}^M \frac{(f(t_0-u) - f(t_0^-))}{u}sin(2\pi Au)du \to_{A \to \infty} 0$

4) On a donc :
$\frac{2}{\pi} \int_{R_+} \frac{sin(2\pi Au)}{u}f(t_0-u)du \to_{A \to \infty} f(t_0^-)$
De la même manière on aurait
$\frac{2}{\pi} \int_{R_-} \frac{sin(2\pi Au)}{u}f(t_0-u)du \to_{A \to \infty} f(t_0^+)$

On a donc $ \int_{-A}^{A} \hat{f}(\omega)e^{2\pi i\omega t_0}d\omega = \frac{1}{\pi} \int_{R} \frac{sin(2\pi Au)}{u}f(t_0-u)du \to_{A \to \infty} \frac{1}{2}(f(t_0^-) + f(t_0^+))$ ce qui conclut

Oui bien sûr c'est dans Folland - Fourier Analysis and its applications, page 256.
J'avais trouvé le pdf complet sur Internet, je ne le retrouve plus...

D'ailleurs j'imagine qu'on peut affaiblir les hypothèses et prendre celle du théorème de Dirichlet
* ƒ admet des limites à droite et à gauche en $x_0$
* il existe $\alpha > 0$ tel que les intégrales suivantes convergent :
$\int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t$.