Autour de la fonction $\Gamma$

Problème de l'AMM de ce mois-ci.

Bonjour,

Pour le 1)
Il suffit de montrer que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$ entier, $\displaystyle n-1 \leq \Gamma(1/n) \leq n.$
On sait que, par définition, $\displaystyle \Gamma(1/n) = \int_{0}^{+\infty} t^{1/n-1} e^{-t} dt.$
Un CDV, $t = u^n$ donne $\displaystyle \Gamma(1/n) =n \int_{0}^{+\infty} e^{-u^n} du \geq n \int_{0}^{1} e^{-u^n} du \geq n\int_{0}^{1} (1-u^n) du =n-1+1/(n+1) \geq n-1.$

Erreur de calcul/ recopié dans la suite, un message plus bas donne la démonstration :

On calcule aussi $\displaystyle \Gamma(1/n) = \int_{0}^{+\infty} t^{1/n-1} e^{-t} dt =\int_{0}^{1} t^{1/n-1} e^{-t} dt + \int_{1}^{+\infty} t^{1/n-1} e^{-t} dt .$ La première intégrale est majorée par $1-1/e$, la seconde par $n/e$ qu'on montre avec un CDV : $\displaystyle t = u^n.$
On conclut $\displaystyle \Gamma(1/n) \leq 1+(n-1)/e \leq n.$

Pour le 2)
Je n'ai pas le temps, la clôture des produits dérivés arrive à New York...

Bonjour,

Pour le 2)
On étudie la fonction $x \mapsto \Gamma(1/x)-x$ pour $x >0$ qui est strictement décroissante et qui tend vers $-\gamma.$ On conclut.

@YvesM
Je ne vois pas comment montrer simplement que la fonction $x\mapsto\Gamma(1/x)-x$ pour $x>0$ est strictement décroissante (le signe de la dérivée n'est pas simple à étudier).

En revanche j'ai trouvé une solution très simple de la question 2) mais je ne la dévoile pas car d'après Fin de partie c'est un problème de l'AMM de ce mois-ci.

Avec une astuce, si on connait les propriétés usuelles de la fonction $\Gamma$ il n'y a pas de calculs à faire pour démontrer les questions 1) et 2), simplement un petit dessin !

Bonjour,

Merci de ta correction. Je me suis trompé et recopié n’importe quoi. Par chance j’ai gardé mes notes.

Voici la démonstration que, pour tout $\displaystyle n\geq 1$, $\displaystyle \Gamma(1/n)\leq n.$

Comme $\displaystyle \Gamma(1+1/n)=1/n.\Gamma(1/n)$ il suffit de démontrer que $\displaystyle \Gamma(1+1/n)=\int_0^{+\infty} t^{1/n} e^{-t} dt \leq 1.$

Chasles avec coupure en $1$.

$\displaystyle \int_0^1 t^{1/n} e^{-t} dt\leq 1-1/e.$

Pour l’autre intégrale, CDV $\displaystyle u=t^{1/n+1}$ et majoration de l’argument de l’exponentielle par $-u.$ Cette intégrale est alors majorée par $\displaystyle 1/e.n/(n+1).$

On a donc $\displaystyle \Gamma(1+1/n)\leq 1-1/e+1/e.n/(n+1)=1-1/e.1/(n+1).$

Et donc $\displaystyle n-1\leq \Gamma(1/n)\leq n-1/e.n/(n+1).$

Moi qui aime bien utiliser les outils déjà existants, signalons l'une des inégalités de Gautschi (1959) : pour tout entier $m \geqslant 1$ et tout réel $\delta \in \left]0,1\right[$, on a
$$\Gamma(m+\delta) < m^{\delta-1} \Gamma(m+1).$$
L'inégalité d'Etanche n'est alors qu'une simple conséquence en prenant $\delta = \frac{1}{n}$ ($n \geqslant 2$) et $m=1$.

Référence.

W. Gautschi, Some elementary inequalities relating to the gamma and incomplete gamma function, J. Math. Phys. 38 (1959), 77-81.