Bonjour
1/ Montrer que $\lceil \Gamma(1/n) \rceil = n $, pour $n>0$ entier ($\lceil x \rceil $ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$).
2/ Trouver la plus petite constante $k$ réelle telle que $\Gamma(1/n) \geq n - k $ pour tout $n$ entier naturel non nul.
Merci.
Réponses
$\Gamma(1/n) = n -\gamma + \frac{6\gamma^2 + \pi^2 }{12n} + O(1/n^2) $
suffit pour 1/ et 2/ ?
Pour le 1)
Il suffit de montrer que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$ entier, $\displaystyle n-1 \leq \Gamma(1/n) \leq n.$
On sait que, par définition, $\displaystyle \Gamma(1/n) = \int_{0}^{+\infty} t^{1/n-1} e^{-t} dt.$
Un CDV, $t = u^n$ donne $\displaystyle \Gamma(1/n) =n \int_{0}^{+\infty} e^{-u^n} du \geq n \int_{0}^{1} e^{-u^n} du \geq n\int_{0}^{1} (1-u^n) du =n-1+1/(n+1) \geq n-1.$
Erreur de calcul/ recopié dans la suite, un message plus bas donne la démonstration :
On calcule aussi $\displaystyle \Gamma(1/n) = \int_{0}^{+\infty} t^{1/n-1} e^{-t} dt =\int_{0}^{1} t^{1/n-1} e^{-t} dt + \int_{1}^{+\infty} t^{1/n-1} e^{-t} dt .$ La première intégrale est majorée par $1-1/e$, la seconde par $n/e$ qu'on montre avec un CDV : $\displaystyle t = u^n.$
On conclut $\displaystyle \Gamma(1/n) \leq 1+(n-1)/e \leq n.$
Pour le 2)
Je n'ai pas le temps, la clôture des produits dérivés arrive à New York...
Cela m'étonnerait*.
Si je ne dis pas d'énormité quand $n$ est suffisamment grand le troisième terme est négligeable par rapport au deuxième terme qui est négatif ce qui fait que si on ne s'occupe pas du reste en $1/n^2$ on soustrait quelque chose de positif à $n$.
(je ne sais pas si ton expression est correcte)
*: je parle de la question 1).
Pour le 2)
On étudie la fonction $x \mapsto \Gamma(1/x)-x$ pour $x >0$ qui est strictement décroissante et qui tend vers $-\gamma.$ On conclut.
Je ne vois pas comment montrer simplement que la fonction $x\mapsto\Gamma(1/x)-x$ pour $x>0$ est strictement décroissante (le signe de la dérivée n'est pas simple à étudier).
En revanche j'ai trouvé une solution très simple de la question 2) mais je ne la dévoile pas car d'après Fin de partie c'est un problème de l'AMM de ce mois-ci.
Avec une astuce, si on connait les propriétés usuelles de la fonction $\Gamma$ il n'y a pas de calculs à faire pour démontrer les questions 1) et 2), simplement un petit dessin !
Merci de ta correction. Je me suis trompé et recopié n’importe quoi. Par chance j’ai gardé mes notes.
Voici la démonstration que, pour tout $\displaystyle n\geq 1$, $\displaystyle \Gamma(1/n)\leq n.$
Comme $\displaystyle \Gamma(1+1/n)=1/n.\Gamma(1/n)$ il suffit de démontrer que $\displaystyle \Gamma(1+1/n)=\int_0^{+\infty} t^{1/n} e^{-t} dt \leq 1.$
Chasles avec coupure en $1$.
$\displaystyle \int_0^1 t^{1/n} e^{-t} dt\leq 1-1/e.$
Pour l’autre intégrale, CDV $\displaystyle u=t^{1/n+1}$ et majoration de l’argument de l’exponentielle par $-u.$ Cette intégrale est alors majorée par $\displaystyle 1/e.n/(n+1).$
On a donc $\displaystyle \Gamma(1+1/n)\leq 1-1/e+1/e.n/(n+1)=1-1/e.1/(n+1).$
Et donc $\displaystyle n-1\leq \Gamma(1/n)\leq n-1/e.n/(n+1).$
Pour le 2),
Le message plus haut montre que, pour tout $n\geq 1$ entier, $\displaystyle 1-1/e.1/(n+1)\geq \Gamma(1+1/n)= 1/n.\Gamma(1/n)\geq 1-k/n.$
Et donc $k\geq 1/e.n/(n+1).$ Donc $k\geq 1/e.$ Et comme $k$ est le plus petit, $k=1.$
2/ $k=\gamma$ la constante d’Euler
$$\Gamma(m+\delta) < m^{\delta-1} \Gamma(m+1).$$
L'inégalité d'Etanche n'est alors qu'une simple conséquence en prenant $\delta = \frac{1}{n}$ ($n \geqslant 2$) et $m=1$.
Référence.
W. Gautschi, Some elementary inequalities relating to the gamma and incomplete gamma function, J. Math. Phys. 38 (1959), 77-81.
https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/06/01/01/01/0002/