Je reviens avec une intégrale qui me bloque
Puisque ça fait longtemps que je ne suis pas venu sur le forum, quelqu'un va forcément me demander où j'étais passé... je faisais une grosse pause de plein de choses, j'en avais besoin. Je préfèrerais ne pas m'étendre sur mon absence. Sachez que vous m'avez manqué.
En tout cas, j'ai un problème avec une intégrale. Elle est censée être faisable avec les outils "de terminale" : primitives, IPP, changements de variable. WolframAlpha lui trouve une valeur définie, mais j'ai du mal à y arriver. L'intégrale à calculer est $\displaystyle \int_0^{-1+e^{\pi/2}}(1+x)^2\sin(\ln(1+x))dx$.
Bon, mon premier réflexe est de faire le changement de variable $y=1+x$, j'obtiens donc $\displaystyle \int_1^{e^{\pi/2}}y^2\sin(\ln(y))dy$.
C'est un peu plus digeste comme ça. Ensuite, avec un intégrande pareil, j'ai envie de faire une double IPP pour faire disparaître le $y^2$. C'est la méthode qui fonctionne en général, mais ici, je n'ai pas l'impression que ça marche : dériver le $y^2$ oblige à trouver une primitive de $\sin(\ln(y))$ et je n'en ai pas trouvée (WolframAlpha en trouve une, mais il y a du $y$ dedans, donc le degré ne descend pas) et dériver le $\sin(\ln(y))$ nous donne un $\dfrac{1}{y}$ qui se compense avec $y^3$, le degré ne descend pas.
Bon, je me suis dit, posons le changement de variable $t = \displaystyle \ln(y)$, tant qu'à faire : on aboutit à l'intégrale $\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{3t}\sin(t)dt$. Je doute qu'on puisse faire vraiment plus simple avec des changements de variable. Cela dit, je ne pense pas qu'on puisse faire des IPP non plus : les sinus vont devenir des cosinus, les exponentielles vont rester.
En sortant du cadre "niveau terminale", on peut poser $I = \displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{3t}e^{it}dt$, dont l'intégrale recherchée est la partie imaginaire.
$I = \displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{(3+i)t}dt = \bigg[ \dfrac{e^{(3+i)t}}{3+i}\bigg]_0^{\pi/2} = \text{calcul...} = \dfrac{e^{3\pi/2} -3}{10} + i \times \dfrac{3e^{3\pi/2} +1}{10}$
WolframAlpha donne bien la valeur $\dfrac{3e^{3\pi/2} +1}{10}$ pour l'intégrale de départ, donc au moins, j'atteins le résultat.
Si quelqu'un a une méthode plus élémentaire (strictement "niveau terminale"), je suis preneur.
En tout cas, j'ai un problème avec une intégrale. Elle est censée être faisable avec les outils "de terminale" : primitives, IPP, changements de variable. WolframAlpha lui trouve une valeur définie, mais j'ai du mal à y arriver. L'intégrale à calculer est $\displaystyle \int_0^{-1+e^{\pi/2}}(1+x)^2\sin(\ln(1+x))dx$.
Bon, mon premier réflexe est de faire le changement de variable $y=1+x$, j'obtiens donc $\displaystyle \int_1^{e^{\pi/2}}y^2\sin(\ln(y))dy$.
C'est un peu plus digeste comme ça. Ensuite, avec un intégrande pareil, j'ai envie de faire une double IPP pour faire disparaître le $y^2$. C'est la méthode qui fonctionne en général, mais ici, je n'ai pas l'impression que ça marche : dériver le $y^2$ oblige à trouver une primitive de $\sin(\ln(y))$ et je n'en ai pas trouvée (WolframAlpha en trouve une, mais il y a du $y$ dedans, donc le degré ne descend pas) et dériver le $\sin(\ln(y))$ nous donne un $\dfrac{1}{y}$ qui se compense avec $y^3$, le degré ne descend pas.
Bon, je me suis dit, posons le changement de variable $t = \displaystyle \ln(y)$, tant qu'à faire : on aboutit à l'intégrale $\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{3t}\sin(t)dt$. Je doute qu'on puisse faire vraiment plus simple avec des changements de variable. Cela dit, je ne pense pas qu'on puisse faire des IPP non plus : les sinus vont devenir des cosinus, les exponentielles vont rester.
En sortant du cadre "niveau terminale", on peut poser $I = \displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{3t}e^{it}dt$, dont l'intégrale recherchée est la partie imaginaire.
$I = \displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{(3+i)t}dt = \bigg[ \dfrac{e^{(3+i)t}}{3+i}\bigg]_0^{\pi/2} = \text{calcul...} = \dfrac{e^{3\pi/2} -3}{10} + i \times \dfrac{3e^{3\pi/2} +1}{10}$
WolframAlpha donne bien la valeur $\dfrac{3e^{3\pi/2} +1}{10}$ pour l'intégrale de départ, donc au moins, j'atteins le résultat.
Si quelqu'un a une méthode plus élémentaire (strictement "niveau terminale"), je suis preneur.
Réponses
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En principe l'intégrale $\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{3t}\sin(t)dt$ doit pouvoir se calculer par double IPP.
(il y a le facteur 3 qui me fait un peu douter, je n'ai fait aucun calcul). -
Si tu fais une double IPP sur la version e(3t) sint, tu devrais retrouver la même intégrale à droite et des calculs sur les primitives?
Edit: Doublé par FDP. -
le coefficient ne pose pas de problème, je pense.
Selon que tu poses u = e^(3t) ou u = sin(t), tu auras un coefficient de 9 ou 1/9 sur l'intégrale de droite obtenue dans les IPP. -
On peut faire sans IPP sinon, en disant que $e^{3t}\sin(t) = e^{3t} Re(e^{it}) = Re(e^{(3+i)t})$.
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oui, Homo Topi l'a déjà proposé, mais on sort alors du programme de terminales.
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Il parlait des outils, pas du programme; je me suis mal exprimé.
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Effectivement la double IPP règle ces cas (je n'ai pas fait les calculs), les intégrales ne se compensent pas et donc on exprime l'intégrale comme étant égal au terme tout intégré à une constante multiplicative près.
Si tu fais une double ipp pour déterminer une primitive de $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$ (ou sin à la place de cos) l'intégrale de gauche sera affectée d'un $1$ et celle de droite d'un terme du type $-\frac{\alpha^2}{\beta^2}$ (ou son inverse, selon ce que tu dérives), ces termes ne sont jamais égaux donc ne se simplifient pas. (Calculs à vérifier, j'ai fait cela de tête). -
Si j'en crois le programme (1972) qui est rappelé dans mon manuel de terminale le changement de variable n'y figurait pas.Homo Topi a écrit:Elle est censée être faisable avec les outils "de terminale" : primitives, IPP, changements de variable
(l'intégration par parties était au programme).
Si on faisait du changement de variable, c'était avant 1972 (?) ou c'était du hors programme.
PS:
En fait, le changement de variable affine apparait dans le programme suivant. -
La présence du $3$ garantit (si on avait besoin de cette garantie) qu'on ne va pas tourner en rond et qu'à la fin on va récupérer l'intégrale à calculer flanquée d'un coefficient puisque aussi bien qu'en calculant une primitive de $x\rightarrow \exp(3x)$ ou sa fonction dérivée on va retrouver la même fonction à un facteur multiplicatif près.
Typiquement on se retrouve avec une égalité de la forme $\displaystyle J=\text{constante}+\underbrace{k}_{\neq 1}\times J$ -
Bah ! au niveau terminale, tu calcules une primitive de $x \mapsto (1+x)^2\sin(\ln(1+x))$ dans ton coin (changement de variable, IPP, Wolfie, etc.), tu demandes à tes potaches de la dériver et tu leur demandes de calculer ton intégrale.
Une autre question ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ev:
Msieur, msieur, comment avez vous su que cette fonction était une primitive de l'intégrande? B-)- -
1/ C'était dans l'énoncé.
2/ Avec Xcas.
3/ Pure skill.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Msieur, msieur z'êtes un magicien. Si vous pouvez faire apparaître des primitives vous pouvez faire disparaître mes mauvaises notes aussi? X:-(
-
Il y a très longtemps que j'ai fait disparaitre les mauvaises notes.
Quand elle s'en est rendu compte, l'inspection générale m'a fait disparaitre.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Puisque la double IPP fonctionne après changement de variables, elle fonctionne aussi avant !
Si on pose $I=\displaystyle \int_0^{-1+e^{\pi/2}}(1+x)^2\sin(\ln(1+x))dx$, on peut donc écrire tout simplement :
\[\begin{align} I&=\left[\frac{(1+x)^3}{3}\sin(\ln(1+x))\right]_0^{-1+e^{\pi/2}} - \int_0^{-1+e^{\pi/2}}\frac{(1+x)^3}{3}\times \frac{\cos(\ln(1+x))}{1+x}dx \\ &=\frac{e^{3\pi/2}}{3} - \left[\frac{(1+x)^3}{9}\cos(\ln(1+x))\right]_0^{-1+e^{\pi/2}} + \int_0^{-1+e^{\pi/2}}\frac{(1+x)^3}{9}\times \frac{-\sin(\ln(1+x))}{1+x}dx\\ &=\frac{e^{3\pi/2}}{3}+\frac{1}{9}-\frac{I}{9}\end{align}\]
et par conséquent \[I=\frac{9}{10}\left(\frac{e^{3\pi/2}}{3}+\frac{1}{9}\right) = \frac{3e^{3\pi/2}+1}{10}\] -
Bonjour,
je signale que les relations d'Euler entre l'exponentielle et les fonctions circulaires sont au programme de l'option math expertes du nouveau programme de terminale.
Concernant une primitive de la fonction initiale, je trouve bien en utilisant ces formules d'Euler le résultat annoncé par Wims soit :
$$
\frac{(x+1)^3}{10}\big[3\sin\big(\ln(x+1)\big) - \cos\big(\ln(x+1)\big)\big] + C,
$$ mais je trouve un autre résultat pour l'intégration entre les bornes prévues soit : $\frac{2}{5}\exp(\frac{3\pi}{2}).$
Cordialement. -
J'ai refait les calculs dans mon coin, je trouve bien le résultat $\dfrac{3e^{3\pi/2}+1}{10}$ sans passer par les complexes.
Je ne me vois pas faire la double IPP sans faire de changement de variable, mais mon premier changement $y=1+x$ suffit, le deuxième n'apporte pas grand-chose.
Moralité : quand on a un cosinus/sinus dans une intégrale définie, on le dérive deux fois dans une double IPP, on peut trouver une équation simple vérifiée par l'intégrale recherchée.
Merci ! -
Si c'est pour donner à des terminales, dont l'intégration par parties est revenue au programme ce me semble, une méthode est de faire comme ev le préconise.
On peut très légèrement compliquer l'exercice en faisant par exemple chercher $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $x \mapsto F(x) = e^{3x} (a \cos x + b \sin x)$ soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto f(x) = e^{3x} \sin x$. -
Pour le coup, non ce n'est pas pour le donner à des Terminales, mais l'exercice en soi peut être sympa !
-
OK.
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Bonjour!
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