Suite de Picard

ccapucine
ccapucine
dans Analyse
Bonjour
j'ai la question suivante:
calculer les trois premiers termes de la suite de Picard associée au problème suivant:
$$
\begin{cases}
y'=1+y^2\\
y(0)=0
\end{cases}
$$
Voici ce que j'ai fait.
$y_0=0$, $y_1(x)= \displaystyle\int_0^x ds = x$, $y_2(x)= \displaystyle\int_0^x (1+s^2) ds = x+\dfrac{x^3}{3}$, $y_3(x)= \displaystyle\int_0^x 1+(s+\dfrac{s^3}{3})^2 ds = x + \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15} x^5+\dfrac{1}{63} x^7$

Je n'arrive pas à trouver une formule de récurrence $y_n$.

Merci d'avance.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Pourtant, tu as appliqué cette formule (:P) $\forall x\in I, y_{n+1}(x)=\int_0^x(1+y_n^2 (t))dt$... mais tu ne nous as pas dit qui est $I$, ni ce que tu cherches réellement.
  • Corto
    Corto
    Si je ne dis pas de bêtises les $n$ premier termes de $y_n$ devraient coïncider avec les $n$ premiers termes (non nuls) du DL de tangente en $0$. Pour les termes suivants par contre aucune idée.
  • Dom
    Dom
    Quelle trouvaille cette utilisation du théorème pour démontrer Cauchy-Lipschitz.
    Ça m’avait subjugué !
    Mais si ça se trouve c’est « naturel » quand on baigne dedans.

    En effet, la remarque de Corto me fait me poser la question : a-t-on un théorème sur cette suite ?
    Quelque chose qui assure que les premiers termes sont les termes de Taylor, dans des conditions raisonnables ?
    Le contrôle du reste le permet-il ?

    Je me pose cette question sans disposer de papier crayon pour le moment.
    Autre question bête : pour un polynôme (solution), ça donnerait une suite constante à partir d’un certain rang ?
    J’essaye mentalement...
  • purple
    purple
    Pour répondre en partie à Dom et Corto : ici.

    J'ai découvert il n'y a pas longtemps la théorie des rough paths, et ce qu'on appelle la signature d'un chemin, en gros une suite d'intégrales itérées dont le principe de base rappelle largement (et parfois coïncide) avec les itérations de Picard. L’intérêt de la signature c'est qu'elle capture très bien les propriétés géométriques d'un chemin (on peut s'en persuader en regardant les premiers termes car facilement interprétables), en pratique le calcul est simple et peu coûteux, et il n'y a pas besoin d'aller loin dans les itérations pour avoir beaucoup d'informations. Il y a de plus en plus d'exemples ou l'utilisation pratique de la signature comme méthode de réduction de la dimension a fait ses preuves, pour des programmes de reconnaissance des caractères chinois par exemple.
    Je rejoins en tout cas Dom sur l'émerveillement face à ces théorèmes.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    $y_n$ est le DL de la fonction $\tan$ en...? à l'ordre...?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
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