Borne $\inf$ et $\sup$ d'une intégrale

Lolo36 · January 2021

Bonjour

Dans quel contexte peut-on utiliser cela ? : $\quad \displaystyle
\sup_{x\in \mathbb{R}}\Big\{ \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\Big\} $.
Et pour la borne inférieure ?
Merci.

Fin de partie · January 2021

Cette notation n'a aucun sens ici.

Le $x$ dans l'intégrale est une variable muette. Si on le remplace par n'importe quelle lettre de l'alphabet hormis $a$ et $b$ cela ne change pas la signification.

gebrane · January 2021

FDP le sup d' une fonction constante est égale à cette constante ;-)

Calli · January 2021

Bonjour,
Pour moi on doit éviter ce genre de notation. Ok ça peut être interprété comme le sup d'un singleton, mais c'est peu compréhensible pour un humain. C'est comme la formule logique $\exists x\ (\forall x\ x\neq \varnothing) \Rightarrow x=\varnothing$ : elle a une signification mathématique, mais on n'y capte rien à moins de décortiquer la formule et c'est pénible.

Fin de partie · January 2021

Gebrane
C'est sûr mais utiliser deux fois le même nom de variable dans ce contexte ce n'est pas terrible et introduire une variable qui ne sert à rien c'est encore moins terrible.

PS. N'est-ce pas plutôt de quelque chose comme ça :
$\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}}\Big(\int_a^x f(t)dt\Big)$ dont il est question ici ?

Lolo36 · January 2021

Les gars, je veux simplement savoir ce que signifient les intégrales dans un $\sup$ ou dans un $\inf$. On voit énormément ce genre d'expression dans la théorie du transport chez Villani, Monge ou encore Kantorovich. Et aussi, hors de la théorie du transport optimal, comment peut-on l'utiliser ?

gebrane · January 2021

Il y a la notion d'intégrales supérieures ou inférieures mais, difficile de comprendre cette phrase: les intégrales dans un sup

Dom · January 2021

Parfois on voit :

$\quad \displaystyle

\sup_{f\in C^0([a;b])}\Big\{ \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\Big\}$

Édit : bon, mon exemple est un peu nul...

Chalk · January 2021

Non en transport optimal on ne voit pas du tout ton écriture, et heureusement B-)-

Les maths ce n'est pas approximatif, il faut recopier la formule juste.

Et en transport optimal, les sup (qui sont généralement pris sur des fonctions lipschitziennes) et les inf (qui sont généralement pris sur des plans de transport) veulent dire la même chose que dans tout le reste des maths, ce sont des sup et des inf d'ensembles de nombres réels.

Que ces réels apparaissent comme des intégrales ne changent rien aux définitions de bornes sup ou inf.

Borne $\inf$ et $\sup$ d'une intégrale

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