Dérivée de $x\mapsto \sin(x)$

Bonjour Julian

tu t'inquiètes sur ma santé et sur ma présence sur le forum :
rassure toi, je vais bien et depuis bientôt 20 ans je suis toujours bien présent ici-même

Tu m'interpelles sur la limite de |sin(n)| pour n infini, j'ai eu l'occasion de répondre ici-même à ce genre de questions
mais pour tes beaux yeux je veux bien y revenir
même si cela ne correspond pas exactement au débat lancé par notre ami gebrane

En fait c'est une propriété générale des fonctions du type $v(x) = g(\sin(x))$
leur limite en l'infini est la demie-somme des extrema obervés dans l'intervalle de définition de la fonction v(x)
sauf si l'intervalle image ne coïncide exactement avec l'écart des bornes.
Si v(x) admet plusieurs extrema et donc v'(x) plusieurs zéros pour x appartenant à ]-1 ; 1[ le résultat n'est pas modifié

la démonstration passe par un raisonnement sur les aires déterminées avec l'axe des abscisses
par la fonction dérivée (périodique, de période $2\pi$) $v'(x) = \cos(x)g'(\sin(x))$.

puisque l'alternance de signe est respectée par $v'(x) = \cos(x)g'(\sin(x))$
avec symétrie ponctuelle observée par rapport à - pi/2 et périodicité de v'(x) de période 2pi
$\int_{-\pi/2}^{+\infty}v'(x)dx = \frac{g(1) - g(-1)}{2}$ et $\lim g(x) - g(-1) = \frac{g(1)- g(-1)}{2}$ lorsque x tend vers plus l'infini

Soit $\lim g(\sin(x)) = [g(1) + g(-1)]/2$ lorsque x tend vers plus l'infini
$|\sin(x)|$ oscille entre 0 et 1 et donc limite $|\sin(x)| = (0 + 1)/2 = 1/2$ (il en serait de même pour $|\cos(x)|$)
de même limite de $\sqrt{1+\sin(x)} = \frac{\sqrt{2}+0}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
et aussi limite de $\sqrt{|\sin(x)|} = \frac{0 + 1}{2} = 1/2$
Cordialement.

J'aimerais bien qu'Éric nous communique le programme de Quatrième, et la phrase absurde.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Autrefois, avant la furie « maths-modernes », on apprivoisait progressivement les angles dans l'enseignement secondaire proprement dit, c'est-à-dire au lycée, qui s'entendait alors de la Sixième à la Terminale.
En Troisième on voyait les « lignes trigonométriques » d'un angle aigu, avec les relations dans le triangle rectangle.
En Seconde, celles de l'angle aigu ou obtus, avec les relations dans le triangle quelconque, relations qu'on n'affublait d'aucune appellation particulière, notamment pas cette grotesque dénomination exotique née dans les années 1990 de l'imagination déréglée d'un illustre anonyme.
En Première apparaissait l'angle orienté dans sa généralité, défini de façon plutôt raisonnable sinon totalement rigoureuse, mais sans ces ridicules enroulements qu'on a vus fleurir par la suite. C'est ici qu'intervenaient les formules de somme qui sont la clé de tout.
Ensuite, telle ou telle inégalité née d'une considération géométrique fournissait la dérivabilité en $0$, et on était à même de dériver tout ça et d'étudier les fonctions circulaires dans toute leur généralité.
En attendant la présentation rigoureuse à bac+1, que j'ai décrite dans mon précédent message, pour ceux qui étaient capables et désireux d'y accéder - les autres pouvant se livrer à d'autres activités tout aussi honorables.
Ceci me semble une bonne progression, j'ignore ce qu'il en est aujourd'hui.
Bonne après-midi
Fr. Ch.

Bonsoir Chaurien,

Après une discussion avec Rouletabille, je m'étais amusé à montrer la formule d'Euler de la manière la plus élémentaire possible, en lien avec tes derniers messages.
C'est [ici].

Souvenirs, souvenirs ...

Dans ce message, cc proposait d'interpréter $y''+y=0$ comme l'équation d'un pendule pesant. Malheureusement, ce n'est que la linéarisation de ladite équation, qui est $y''+\sin y=0$, dans l'approximation des « petites oscillations » : pour $y$ petit, $y\simeq\sin y$.

Je suis curieux de lire une « incidente de catéchisme communiste » dans le livre de géométrie de Michèle Audin, dont l'objectif et la concision ne sont pas ceux de M. Berger. On y trouve une stricte alternance d'adresses aux lectrices et aux lecteurs, ce qui n'est en rien de l'écriture inclusive où l'on écrirait par exemple aux lecteurices.

D'accord pour le pendule de torsion, encore que j'ai plus de mal à imaginer un dispositif physique qui permet de faire plus d'un tour. Je ne comprends pas la fin, trop de négations et le problème ne me dit rien du tout.

$\newcommand{\Sin}{\text{Sin}}$
$\newcommand{\Cos}{\text{Cos}}$
$\newcommand{\Tan}{\text{Tan}}$

La présentation de Chaurien est faisable sans recours à la notion de mesure d'angle qu'on peut introduire ultérieurement. On pourra se référer au petit livre "Algèbre linéaire et Géométrie élémentaire" de Jean Dieudonné qui contient ce qui va suivre.

Pour la trigonométrie sans mesure d'angle, il suffit de déclarer (à nouveau ;-)) que $\C$ est une abréviation de $\R^2$ avec les opérations usuelles $\overline {(a,b)}:= (a, -b)$; $(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$, $(a,b)\times (c,d):=(ac-bd; ad+bc)$, $|(a,b)|:=\sqrt {a^2+b^2}$, $\mathfrak {Re} (a,b):=a$ et enfin $\mathfrak {Im} (a,b):=b$.

Appelons "angle orienté" (ou encore "rotation de centre $0$") un élément $z$ de $\C$ tel que $|z|=1$. On voit que les angles orientés forment un sous-groupe de $(\C\backslash \{0\}, \times)$ qui est lui-même un groupe abélien (l'inverse d'un $(a,b)$ non nul étant donné par $\left (\frac a {a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)$). Les angles $(0,1)$ et $(0,-1)$ seront qualifiés de droits.
Etant donné un angle $\alpha$, on note encore $\Cos(\alpha):= \mathfrak {Re} (\alpha)$, $\Sin(\alpha):= \mathfrak {Im} (\alpha)$ et enfin, si $\alpha$ n'est pas droit (ce qui entraîne $\Cos(\alpha)$ non nul), $\Tan(\alpha ) := \frac{\Sin (\alpha)}{\Cos(\alpha)}$.

Si on note par abus de langage "$+$" la loi de composition du groupe (voir plus haut) des angles orientés, il est clair que l'on retrouve les "formules de trigonométrie" (applications directes des définitions du produit pour $\Sin$ et $\Cos$ et un simple calcul de fraction pour $\Tan$): pour tous angles orientés $\alpha, \beta$,
on a $\Cos(\alpha+\beta)=\Cos(\alpha)\Cos(\beta)-\Sin(\alpha)\Sin(\beta)$, $\Sin(\alpha+\beta)=\Sin(\alpha)\Cos(\beta)+\Sin(\beta) \Cos(\alpha)$, et lorsque $\alpha,\beta,\alpha+\beta$ ne sont pas droits, $\Tan(\alpha+\beta) = \frac{\Tan(\alpha)+\Tan(\beta)}{1-\Tan(\alpha) \Tan(\beta)}$.

Pour ce qui est de la notion de mesure d'angle, le cours d'analyse fournit une application différentiable $t\mapsto \exp(it)$ de $\R$ dans $\{z \in \C: |z| = 1\}$ qui est également un morphisme de groupes au sens où pour tous $s,t\in \R$, $\exp(i(s+t)) = \exp(is) \times \exp(it)$, et on note $\cos(t):=\Cos \left (\exp(it) \right)$ et $\sin(t):=\Sin \left (\exp(it) \right)$ pour tout $t\in \R$.

Je suis désolé, pour moi la géométrie élémentaire, ce n'est pas de l'algèbre linéaire déguisée.
Je suis en désaccord avec Foys et aussi avec Gai Requin dans un autre fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2180376,2180666#msg-2180666
et du coup avec Dieudonné, malgré mon immense admiration pour ce génie.
Je prends date pour remonter cette question et je développerai tantôt mon point de vue.
Bonne soirée.
Fr. Ch..

Bonjour.

Dans le "Précis de trigonométrie rectiligne" de l'Abbé Gélin, deuxième édition, il est question d'une démonstration géométrique des formules de $\sin(a \pm b)$ et $\cos(a \pm b)$ au moyen de triangles semblables, préférée à la démonstration de Cauchy.

Ci-joint un exemple, loin d'être parfait.
Désolé si c'est hors sujet.
À bientôt.

Géométrie élémentaire (2)

J'ai déjà dit que dans son livre, Dieudonné s'est mis volontairement en situation de ne pouvoir définir une mesure des angles par un réel ou une classe de réels. Alors il nous procède à la construction du dit « groupe-des-angles » comme ensemble des classes d’équivalence de couples de vecteurs sous l'effet des rotations du plan vectoriel euclidien. Un tel angle correspond à une rotation, qui a une matrice si le plan est orienté, et les coefficients de cette matrice sont le grand Cosinus et le grand Sinus. Ensuite, ces objets mathématiques inédits ont été introduits dans l'enseignement secondaire, vous pouvez les trouver dans les manuels à l'usage de la Première C post-1968, par exemple la collection Paul Vissio (Delagrave). J'ai moi-même enseigné ça à la fin des années 1970 dans cette classe, avec tout de même quelques difficultés, même à une époque où il y avait encore une sélection raisonnable des élèves.

De façon purement algébrique, il est clair que le groupe multiplicatif $\mathbb U$ des complexes de module $1$ est isomorphe au groupe multiplicatif des matrices réelles $\left[
\begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a%
\end{array}%
\right] $, $a^{2}+b^{2}=1$, et bien sûr au groupe des rotations du plan vectoriel euclidien. Avec la construction des fonctions circulaires par des procédés relevant seulement de l'Analyse (comme j'ai dit plus haut et plusieurs fois sur ce forum, et en accord avec Dieudonné), il apparaît que ce groupe est isomorphe au groupe additif $\mathbb R/\mathbb Z$. Car Dieudonné est bien libre de faire son livre avec son mini-corps des réels, ce jeu d'esprit est très intéressant pour nous, mais cinquante ans après, on ne voit pas pourquoi on l'a l'infligé aux élèves, même à des élèves dûment sélectionnés pour être admis en Première C. Et d'ailleurs ça n'a pas pris, et tout ça a été rapidement abandonné. Le malheur c'est qu'on n'a mis à la place rien de sérieux.

Car on peut inverser le raisonnement. Libre à Dieudonné de faire sa géométrie avec ce corps des scalaires à possibilités réduites, mais nous, nous disposons du véritable $\mathbb R$ avec toutes ses propriétés, et nous pouvons mesurer des angles qui sont simplement des couples de vecteurs non nuls ou de demi-droites de même origine, sans qu'il soit utile de fabriquer ce « groupe-des-angles » pour fournir un autre avatar d'isomorphie à un groupe qui n'en a nul besoin.

Et considérez la Géométrie élémentaire telle qu'elle se pratique dans la réalité, par exemple sur ce forum, où des spécialistes rivalisent de compétence et de maestria, ou bien dans les compétitions mathématiques de France et d'ailleurs, ou encore dans les livres actuels de géométrie, et cherchez où l'on utiliserait ce fameux « groupe-des-angles » nantis de leurs grands Sinus et Cosinus, vous ne trouverez rien.

Alors pour parler comme Dieudonné par ailleurs, ce « groupe-des-angles » c'est un exercice d'algèbre moyennement intéressant, et encore je suis gentil, et une fois qu'on l'a traité on peut l'oublier et on peut même l'oublier avant de le traiter.

À suivre...

Bonne journée.
Fr. Ch.

Je pense que le message de ce livre a été en général très mal compris. Il faut dire qu'il ne s'adressait pas du tout à des élèves mais à des mathématiciens et à des professeurs de maths ayant réfléchi et pouvant continuer à le faire. La forme du livre n'aide pas non plus (il s'agit essentiellement d'un brûlot; la capacité de Dieudonné de rédiger des livres de maths de cette nature juste parce qu'il s'est mis en colère est tout de même surprenante). J'élaborerai plus tard avec une anecdote personnelle que je trouve frappante. Sous réserve d'être convaincu que le plan peut être muni d'un système de coordonnées dans lequel la géométrie s'exprime comme on le fait usuellement (ce qui n'est pas trivial certes) c'est bien la présentation de Dieudonné de cette discipline qui est la plus simple de toutes et non le contraire.
Disons déjà que chaque fois qu'un problème de géométrie plane ne fait pas état de longueurs de courbes et notamment d'arc de cercles (une "mesure d'angles" n'étant pas autre chose qu'un paramétrage d'arc de cercle par longueur d'arc), il est intégralement traitable dans ce paradigme.

Dreamer,
Une remarque : les barres sont bien des mesures algébriques ?
Dans ce cas c’est plutôt $\overline{DE}=\overline{BA}$.

Édit : Merci Nicolas pour le « overline » à la place de « bar » LateX ;-)

Au sujet de l'exercice de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2172448,2185302#msg-2185302

Si $E,F,G$ sont des points du plan avec $F\neq E$ et $F\neq G$, l'angle non orienté $\hat {EFG}$ est inférieur à $30°$ si et seulement si $\frac{\langle \vec{FE}, \vec{FG}\rangle}{FE \cdot FG} \geq \frac{\sqrt 3}{2}$ ($\langle \_ ,\_ \rangle$désignant bien sûr le produit scalaire).

Par suite le résultat demandé équivaut (tiroirs) à l'inégalité $$
\left (\frac{\langle \vec{CP}, \vec{CA}\rangle}{CP \cdot CA} \right )^2+
\left (\frac{\langle \vec{AP}, \vec{AB}\rangle}{AP \cdot AB} \right )^2+
\left (\frac{\langle \vec{BP}, \vec{BC}\rangle}{BP \cdot BC} \right )^2
\geq \frac{9}{4} \tag 1$$ qui est exprimable en termes de coordonnées des points, l'hypothèse "$P$ intérieur à $ABC$" signifiant que $P$ est dans l'enveloppe convexe de $\{A,B,C\}$. L'exercice en question est donc la recherche d'une preuve d'un énoncé de théorie des corps réels clos, une théorie qui est complète et décidable, ce qui entraîne qu'il existe une preuve de l'affirmation en question dans cette théorie et son langage seuls, ou bien qu'il en existe une preuve de son contraire (et au passage qu'une telle preuve peut être produite algorithmiquement bien que le résultat puisse être considérablement plus long que la rédaction attendue pour un exo d'olympiades). Donc il y a deux cas: ou bien les mathématiques élémentaires sont contradictoires (deuxième cas évoqué ci-dessus), ou bien l'exo est intégralement traitable avec les outils de Dieudonné (et même moins car il n'y a pas besoin de propriété d'Archimède qui est supposée dans son livre sauf faux souvenir de ma part).

Pour Dom, c'est vrai.

J'avais dit que ce n'était pas une présentation exempte de défauts, j'aurais sans doute dû les lister, ne fût-ce que par correction.

Si j'en ai le courage, je ferai quelque chose de propre en LaTeX, mais j'ai vraiment peu de temps pour faire cela ces derniers temps.

Ah j'ai parlé trop vite.
Effectivement l'exo équivaut à ce que l'un des trois termes de la somme que j'ai donnée est supérieur à $\frac 3 4$. Mais rien n'indique que la somme en question est vraiment supérieure à $\frac 9 4$, on a seulement une condition suffisante.
Au temps pour moi!

Dans le cas particulier de la fonction cosinus continue sur $\R$, on connaît le DL qui permet de déduire la dérivée en tout point.

$\forall x \in {\R},\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + x^4 \alpha(x),\ \lim_{x\to 0}{\alpha}=0$ ; à vérifier avec le développement de la fonction à l'ordre $n=4$.

Géométrie élémentaire (4)

J'ai raconté que Gustave Choquet a proposé en 1964 une axiomatique de la géométrie élémentaire, en concurrence avec Dieudonné, qui voulait abandonner une telle entreprise au profit de l'étude directe de l'algèbre linéaire. Bien que plus raisonnable, Choquet restait quand même prisonnier de l'esprit du temps. Il donnait pour seul but à la géométrie la fondation de l'algèbre linéaire. Il fustigeait « le goût pervers qui entraîne vers les points remarquables du triangle et vers des relations métriques élégantes mais inutiles » (p. 10) : $~~~~~~~$ que dirait-il s'il revenait et prenait connaissance de notre sous-forum de géométrie ? $~~~~$Il se croyait obligé de construire ce fameux $~~~$ « groupe-des-angles » dont il n'avait nul besoin dans son exposé, et dont personne n'a et n'aura jamais besoin. Il se vantait p. 97 d'avoir construit une grande partie de sa géométrie sans jamais parler d'angles, et p. 103 de n'avoir jamais ressenti le besoin des cas d’égalité et de similitude. Tout ça c'est du passé, les défuntes « maths-modernes » qui nous ont fait tant de mal.

La géométrie élémentaire, l'étude des figures et de leurs propriétés, les raisonnements à leur sujet, c'est bien une fin en soi. C'est une étude d'objets indispensables et c'est une initiation au raisonnement, qui s’impose d'abord au premier cycle secondaire, qu'on appelle de nos jours le collège, et se poursuit bien au-delà. Ceci fournit des images qui nous suivront durant toute notre activité mathématique, et qui seraient ignorées par la seule étude préalable de l'algèbre linéaire, alors qu'elles représentent une aide précieuse pour le raisonnement, dans plusieurs situations, même en Analyse.

Ce n'est pas pour nier l'importance de l'algèbre linéaire, qui est un outil puissant et indispensable. En fait, le travail en géométrie élémentaire avancée fait apparaître un rapport à l'algèbre linéaire dans l'autre sens : c'est l'algèbre linéaire qui sert la géométrie. Les problèmes posés dans notre sous-forum géométrie, et leurs solutions, le montrent clairement. Et d'ailleurs la géométrie n'est pas la seule voie d'accès à l'algèbre linéaire : le calcul matriciel en est une autre. Car on peut utiliser des vecteurs ou des matrices sans avoir défini un espace vectoriel, savez-vous ?

À suivre...

Bonne soirée.
Fr. Ch.