Un calcul d'aire (enfin, deux)

Homo Topi
Homo Topi
dans Analyse
Je suis tombé sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre pour deux raisons. Commençons par la première.

On a donc l'ellipse $E$ d'équation $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$. Je sais qu'il y a des formules qu'on peut juste apprendre par coeur, mais j'ai envie de refaire le calcul de l'aire à la main. J'ai cherché dans mes cours de prépa et on avait fait une tonne de calculs d'aire et de volume pour tout et n'importe quoi, mais pas l'ellipse.

Je me suis dit que je pouvais décrire le "quart nord-est" de l'ellipse par $y = \sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}$, pour $x$ entre $0$ et $1$. Du coup, je me retrouve à devoir calculer $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}dx$. J'aimerais résoudre ce calcul avant de potentiellement faire une autre méthode (coordonnées polaires par exemple).

Bon, cette intégrale ne m'inspire franchement pas. Je sais que l'intégrande peut aussi s'écrire $\sin(\text{Arccos}\Big(\dfrac{x}{2}\Big))$ ou $\cos(\text{Arcsin}\Big(\dfrac{x}{2}\Big))$ mais je ne me sens pas très avancé avec ça. Je me le garde sous le coudre au cas où, mais, sans plus pour l'instant.

$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}dx = \dfrac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx$. Je ne vois pas trop comment m'en sortir ensuite.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    dans l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}dx$ on a envie de faire le changement de variable $y=x/2$.
  • Gon
    Gon
    salut, on peut factoriser ce qui est sous la racine et se ramener à une décomposition en éléments simples ou plus simple par le même procédé.
    Mais la réponse de @FP semble plus simple.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    J'avais déjà fait quelques CDV au brouillon, on aboutit à $\displaystyle 2\int_0^{1/2} \sqrt{1-y^2}dy$ avec celui-là, mais après ? Je ne vois pas comment primitiver ça.

    Attien : une fois que tu as une DES sous ta racine, tu en fais quoi ? Parce que c'est bien la racine qui me pose problème.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    HT:

    Après, on enchaîne avec $y=\sin u$ ou $y=\cos u$.
  • Gon
    Gon
    On sait que si $ax^{2}+bx+c$ est un trinôme ($a$ non nul) possédant comme racines $x_1,x_2$ comme racine avec $a>0$
    on a $\sqrt{ax^2+bx+x}=\sqrt{a(x-x_{1})(x-x_2)}=|x-x_{1}|\sqrt{\frac{a(x-x_2)}{x-x_{1}}}$.
    On pose $t=\sqrt{\frac{a(x-x_2)}{x-x_{1}}}$. (on peut adapter dans le cas où $a<0$)
    Peut-être pour aller plus loin tu peux regarder le changement de variable via la méthode d'Euler pour le cas où le trinôme n'a pas de racines.
    Mais bon, c'est du calcul inutile ici car trop long donc le changement de variable de @FP est préférable.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    l'aire de l'ellipse est A = $4\int_0^{2}\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}dx$

    puisqu'il y a double symétrie par rapport aux axes de l'ellipse

    tu poses comme le suggère FdP,

    x = 2sint avec $0 < t < \frac{\pi}{2}$ soit dx = 2costdt

    soit $A = 8\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^2tdt$

    soit $4[t + \frac{1}{2}sin2t]$ à calculer entre 0 et $\frac{\pi}{2}$

    c'est-à-dire $A = 2\pi$

    cordialement
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    En prépa, je crois qu'on avait vu cette intégrale sur le chapitre des intégrales multiples (et changements de variable), en écrivant quelque chose comme $\mathcal{A}=\int _{\mathcal{D}}dxdy$, avec $\mathcal{D}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}, (\frac{x}{2})^2 +y^2 \leq 1 \} $ le domaine associé à l'ellipse. On remarque alors qu'on peut passer d'une ellipse (pleine) à un disque et vice versa en dilatant convenablement les variables, c'est à dire, par exemple, que $\phi: (x,y) \mapsto (2x, y)$ est un difféomorphisme qui envoie le disque unité $\mathcal{C}$ sur $\mathcal{D}$.
    On a alors $\mathcal{A}=\int _{\mathcal{D}=\phi(\mathcal{C})}\mathrm{d}x \mathrm{d}y=\int _{\mathcal{C}}\underbrace{|\det\,J_{\phi}|}_{2}\mathrm{d}u \mathrm{d}v=2 \pi$.

    Après, on peut trouver ça "parachuté".
  • P.
    P.
    C'est pitié de voir ignorer un important chapitre de la première année des études supérieures appelé 'Réduction de certaines intégrales à des primitives de fractions rationnelles'. Type 4: calcul de $ \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx$ quand $R(x,y)$ est quotient de deux polynômes à deux variables. Et c'est pitié de voir des personnes appeler 'astuce' ce qui devrait être 'technique'.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Est ce que "c'est pitié" est un anglicisme dérivé de "it's a pity", ou bien une expression connue ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Quand on a une expression $\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}$ dans l'intégrande on a envie par un changement de variable affine de transformer la racine carrée en $\displaystyle \sqrt{1+x^2}$ ou $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$
    Après, on fait le changement de variable $x=\sinh u$ dans le premier cas, et dans le deuxième cas, $x=\sin u$.
    (Ce qui permet de se débarrasser de la racine carrée)

    PS:
    La traduction de it's a pity est C'est dommage.
  • julian
    julian
    What a pity, plutôt...
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Oui, je me débrouille en anglais :-D, je râlais juste un peu en fait.
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