Merci pour votre reponse. Je pense que je n'étais pas précis dans ma question, le lien que je cherche est à propos d'inégalité c’est-à-dire est-ce l'intégrale d'une fonction positive sur les bords d'un domaine est supérieure ou bien inférieure à l'intégrale de la même fonction sur tout le domaine.
Je peux te faire une réponse bête : le bord étant de mesure nulle avec tes hypothèses, l'intégrale sur le bord est toujours inférieure à l'intégrale sur tout le domaine. Mais évidemment ce n'est pas ce qui t'intéresse, mais je ne sais même pas si tu avais vu la subtilité.
Je sais la reponse mais j'ai voulu être sûr d'elle et spécialement que je n'ai pas trouvé des références qui m'assurent que c'est vrai donc merci beaucoup.
Lorsque on intègre sur le bord on utilise une mesure surfacique. par exemple si u dans $H^1(\Omega)$, je ne vois pas pourquoi l intégrale sur Oméga serait supérieure à celui sur sa frontiere
Bonjour, Gérard : Dans ton exemple, l'intégrale "surfacique" dont parle gebrane (au sens "d'hypersurface" $-$ objet de codimension 1 $-$ plutôt qu'au sens de surface à deux dimensions) est $\int_C 1\ (x\,{\rm d}y-y\,{\rm d}x) = 2\pi$. Le $x\,{\rm d}y-y\,{\rm d}x$ est la mesure de longueur sur le cercle.
En fait, comme l'a bien vu Poirot, le message initial peut tout à fait (bêtement) être lu ainsi. Olfamath ne donne aucun contexte, ne répond pas à la suggestion de Poirot sur la formule de Stokes, la remarque de Gebrane invente un contexte, j'en propose un autre ...
Bien évidemment, je comprends ce qu'il dit, mais comment savez-vous que c'est cela dont il s'agit ???
Oui, et j'adore prendre les gens au mot : Olfamath (qui ne dit pas de quoi il parle vraiment) et toi (j'ai pris une intégrale "surfacique" , double). Mais c'est aussi pour Olfamath, qui reste dans le flou.
Je te donne l'intuition de "Stokes et compagnie", mais son implémentation formelle est assez délicate, mais uniquement technique.
1/ Tu as un "gros machin" en un seul bloc, $A$
2/ Tu as "des flèches qui pointent dans tous les sens indiquant un mouvement de foule vue d'avion
3/ Le comptage entre 2 instants des gens à l'intérieur d'une zone se fait en retirant ceux qui sont sortis de la zone à ceux qui y sont entrées.
4/ Pour ça, tu peux ne regarder que ce qu'il se passe sur les bords des zones (des vigiles comptent les gens dans un supermarché sans le visiter, l'actuelle période COVID rend ça plus familier, mais ils doivent se téléphoner s'il y a plusieurs portes. Les habitants de la campagne sont désavantagés pour cette analogie)
5/ Quand tu partages $A$ en deux morceaux $U,V$, tu vas rajouter une frontière intérieure, qu'on ne voiyait pas en regardant juste le bord de $A$. Et avoir une formule du genre :
et la différence entre $Sorties(U)$ et $Entrees(V)$ est très spéciale car elle n'existe qu'à cause de ce qu'il se passe à l'extérieur de $A$. Sinon, c'est égal, ie sortir de U, c'est entrer dans V
6/ En outre, ça se compte toujours de la même façon, mais en changeant le signe des entrées dans $V$, autrement dit "en respectant l'orientation".
7/ Du coup, tu peux recommencer en divisant $U$ lui-même en deux morceaux, ainsi que $V$. Bref, en t'y prenant bien et en évitant les formes applaties ou allongées, tu vas exprimer ce qu'il se passe sur le bord de $A$ en fonction de ce qu'il se passe sur de tous petites zones, qui partitionnent $A$ à elles toutes.
8/ Tu obtiens les outils de géométrie différentielle comme ça, en faisant tendre vers l'infini lme nombres de minizones, (Stokes, etc). En dimension 2, sauf erreur ça s'appelle "Green Riemann"
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
Cordialement.
Gérard : Dans ton exemple, l'intégrale "surfacique" dont parle gebrane (au sens "d'hypersurface" $-$ objet de codimension 1 $-$ plutôt qu'au sens de surface à deux dimensions) est $\int_C 1\ (x\,{\rm d}y-y\,{\rm d}x) = 2\pi$. Le $x\,{\rm d}y-y\,{\rm d}x$ est la mesure de longueur sur le cercle.
Bien évidemment, je comprends ce qu'il dit, mais comment savez-vous que c'est cela dont il s'agit ???
Cordialement.
Cordialement.
> Le $y\,{\rm d}x+x\,{\rm d}y$ est la mesure de longueur sur le cercle.
Heu (comme dirait Gérard) ... tu es sûr ?
1/ Tu as un "gros machin" en un seul bloc, $A$
2/ Tu as "des flèches qui pointent dans tous les sens indiquant un mouvement de foule vue d'avion
3/ Le comptage entre 2 instants des gens à l'intérieur d'une zone se fait en retirant ceux qui sont sortis de la zone à ceux qui y sont entrées.
4/ Pour ça, tu peux ne regarder que ce qu'il se passe sur les bords des zones (des vigiles comptent les gens dans un supermarché sans le visiter, l'actuelle période COVID rend ça plus familier, mais ils doivent se téléphoner s'il y a plusieurs portes. Les habitants de la campagne sont désavantagés pour cette analogie)
5/ Quand tu partages $A$ en deux morceaux $U,V$, tu vas rajouter une frontière intérieure, qu'on ne voiyait pas en regardant juste le bord de $A$. Et avoir une formule du genre :
$$Entrees(A)-Sorties(A) = (Entrées(U)-Sorties(U)) + (Entrées(V) - Sorties(V)) $$
et la différence entre $Sorties(U)$ et $Entrees(V)$ est très spéciale car elle n'existe qu'à cause de ce qu'il se passe à l'extérieur de $A$. Sinon, c'est égal, ie sortir de U, c'est entrer dans V
6/ En outre, ça se compte toujours de la même façon, mais en changeant le signe des entrées dans $V$, autrement dit "en respectant l'orientation".
7/ Du coup, tu peux recommencer en divisant $U$ lui-même en deux morceaux, ainsi que $V$. Bref, en t'y prenant bien et en évitant les formes applaties ou allongées, tu vas exprimer ce qu'il se passe sur le bord de $A$ en fonction de ce qu'il se passe sur de tous petites zones, qui partitionnent $A$ à elles toutes.
8/ Tu obtiens les outils de géométrie différentielle comme ça, en faisant tendre vers l'infini lme nombres de minizones, (Stokes, etc). En dimension 2, sauf erreur ça s'appelle "Green Riemann"