Normes sur R
dans Analyse
Juste une question de curiosité,
Y a pas d'autre normes sur R à part la valeur absolue ? 8-)
Y a pas d'autre normes sur R à part la valeur absolue ? 8-)
Réponses
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tu prends deux fois la valeur absolue.Le 😄 Farceur
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Ça revient au même non ?
Ça joue cache-cache ? :-D -
Tu peux toi-même réfléchir à ta question.
Si la norme de 1 est N, la norme d'un réel x est ... -
Son revient au même en effet. S'est facile àmon trer . Grasse à l'omoge néité.
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Tu peux jouer sur le fait que dans cette situation un réel est à la fois un vecteur (ce qui permet de calculer sa norme) et un scalaire (ce qui permet de le sortir de la norme, en l'entourant d'une valeur absolue).
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Ils ont coupé l'herbe sous mes pieds
$N(x)=N(1)|x|$Le 😄 Farceur -
Ouai !
L'argument de Math2 dit tout !
Merci pour vos réponses tous ! -
Ben... Il y en a une infinité...
A*n(x) avec A non nul -
julian salut, donne moi 10 distances dans R totalement différentes l'une des autres. C'est pour le fun;-)Le 😄 Farceur
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Tout est dans le « totalement » différentes :-)
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Distance ou norme ?
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J'en connais au moins 2: la distance usuelle, la distance discrète, la distance p abdiqué, la. Distance euclidienne, etc
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Dom, :-D je donne un exemple
1) d(x,y)=|x - y| ( distance basique)
2) d(x,y)=|e^x - e^y|
La 2 n'est pas totalement différente de la 1 car il lui emprunte la valeur absolueLe 😄 Farceur -
Julian tu as trouvé deux totalement différentes, il reste 8 autres :-D ou rien ne va plus !Le 😄 Farceur
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La distance sncf peut être...
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Iarctgx-arctgyI
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Julian ta 3 SNCF, emprunte la valeur absolue
3) d(x,y)=|x-y| si x, y sont liées et d(x,y)=|x|+|y| sinonLe 😄 Farceur -
Mouais...
« Emprunte la valeur absolue » me titille.
Une autre ça « emprunter » une opération « - ».
Qu’est-ce que « arctan » sinon un truc construit avec des choses « empruntées » ? -
Dom Pour expliquer simple la régle de jeu , construire une distance ne contenant pas une valeur absolue; il n' y a pas plus clair que çaLe 😄 Farceur
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La distance de Minkowski....
M'enfin sur R les choix sont restreint. Ne vaut-il mieux pas étendre ceci sur des espaces plus généraux ? -
L'intérêt d'introduire arctan est relatif aux suites de Cauchy
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mais tu es obligé de mettre une valeur absolueLe 😄 Farceur
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La distance discrète l’utilise !
J’appelle $a$ l’application $u\mapsto |u|$.
Je noterai $a’_d$ et $a’_g$ les dérivées à droite et à gauche dont on sait qu’elles existent.
$d(x;y)=a\Big( \dfrac{a’_d(x-y)+a’_g(x-y)}{2} \Big)$
Non ? -
Poirot : Oui, c'est vrai. Après on peut faire quelque chose dans l'esprit de la distance $p$-adique. Pour tous $x,y\in\Bbb R$, notons $n(x,y)$ l'inf des rangs $n\in\Bbb Z$ tels que les $n$-ièmes chiffres de $x$ et $y$ dans leur écriture en base $p$ sont différents (avec la convention que le chiffre des dizaines est le $1$-ième chiffre, celui des unités le $0$-ième, celui des dizièmes le $(-1)$-ième, etc.). Alors $d(x,y):=\frac1{1+e^{n(x,y)}}$ est une distance sur $\Bbb R$ telle que la topologie induite sur $\Bbb Z$ est homéomorphe à la topologie $p$-adique de $\Bbb Z$.
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Dom, la discrète s’écrit sans valeurs absolue
si x $\neq$ y, d(x,y) = 1, sinon d(x,y) = 0Le 😄 Farceur -
gebrane : Voilà une autre distance sur $\Bbb R$ :-D : $$d(x,y) = \frac{1}{(x^2+1)(y^2+1)}\sqrt{(x-y)^2(xy-1)^2+\left(\frac{(x-y)[(x^2+y^2+3xy)(xy+1)-x^3y^3-1]}{(x^2+1)(y^2+1)}\right)^2}$$ Je te propose de montrer qu'elle vérifie l'inégalité triangulaire. :-D:-D
Muni de cette distance, $\Bbb R$ est homéomorphe à une lemniscate. -
Mais oui !!!
Cher gebrane, à la fois je te taquine mais il y a un fond mathématique dans mes taquineries.
Calli a répondu ce que j’aurais répondu.
Amicalement
Dom -
Calli, alors tu te contredit avec ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2174248,2174750#msg-2174750
Tous ça c'est pour dire qu' on a "presque" le même phénomène pour les normes sur R, pour construire une distance, "on a besoin" d'une valeur absolueLe 😄 Farceur -
Dom je t'aime bien et j'aime tes taquineries, moi aussi je le fais souvent avec toi.Le 😄 Farceur
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Il me semble que la chose suivante est une distance (sauf erreur, j'ai vérifié toutes les situations, sauf les cas où au moins deux parmi trois prennent les valeurs $0$ et $1$, en espérant que ça marche) :
$d(x,y)=|x-y|$ si $x$ et $y$ sont distincts de $0$ et $1$
$d(0,0)=d(1,1)=0$
$d(0,1)=d(1,0)=1$
$d(x,0)=d(0,x)=|1-x|$ si $x\notin \{0,1\}$
$d(x,1)=d(1,x)=|x|$ si $x\notin \{0,1\}$
Pour cette distance, si elle en est bien une, la suite $(1/n)_n$ converge vers $1$.
EDIT : corrigé sous l'impulsion de gebrane et avec la remarque de gerard0 et celle de Dom. Décidément je n'ai plus les yeux en face des trous. Merci vous trois ! -
math2 bonjour
Tu assignes à d(0,1) deux valeurs ( 1 et 0 ) les lignes 3 et 5Le 😄 Farceur -
bonjour gebrane
ah oui, il manque $x\not=0$ dans le dernier cas ... J'espère d'ailleurs que c'est vraiment une distance, ça m'amuserait de faire converger $(1/n)_n$ vers $1$. -
Même problème à l'avant dernière ligne. Dans les deux cas, x doit être différent de 0 et 1, puisque ces cas ont déjà été traités.
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en fait, je n'ai pas corrigé l'avant dernière ligne, car au moins elle est cohérente avec la troisième, qui du coup est inutile !
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Peux-tu corriger maths2 pour le bien des yeux de tes lecteurs
c'est mystérieux cette histoire de distance qui fait tendre la suite 1/n vers 1Le 😄 Farceur -
Ca y est, j'ai corrigé. Bon j'avoue que je n'ai pas eu le courage de vérifier toutes les situations (je dois mal m'y prendre d'ailleurs), mais tous les cas testés penchent dans le sens que l'inégalité triangulaire semble bien vérifiée.
Oui, ça m'a amusé de me demander si au lieu de faire converger la suite vers $0$ ou ne pas converger du tout, on pouvait la faire converger vers autre chose. -
Merci math2
Elles sont belles les maths
j'ai squatté le fil de TF, j'ouvre un nouveau filLe 😄 Farceur -
Problème pour $d(0;1)$ qui donne $0$.
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gebrane : Aucune réaction à ma distance. Je suis déçu. Je me suis donné un peu de mal pour l'inventer.
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Calli attend je viens de me brancherLe 😄 Farceur
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@Calli : à propos de ta distance, sa restriction à $\mathbb Z$ est équivalente à la distance $10$-adique, me trompé-je ? Quand tu dis que la topologie va être homéomorphe à la topologie $p$-adique, c'est parce que les distances $p$-adiques (et même $n$-adiques) définissent des topologies homéomorphes ?
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Poirot : Tu as vu que j'ai parlé des chiffres en base $p$, pas en base 10 ? Sinon, j'ai du mal à comprendre ta question.
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Salutations,
La question initiale de ce fil m'évoque de lointains souvenirs :
Si $ \left(E,d \right)$ est un espace métrique, alors $d' := \frac{d}{1+d}$ définit aussi une distance sur E.
L'intérêt (qui n'a rien à voir avec la question initiale), est qu'on peut supposer la distance bornée.
Du coup, on peut trichoupaillement en construire une "nouvelle".
Cordialement. -
Calli écrivait:
Voilà une
autre distance $$d(x,y) =\frac{1}{(x^2+1)(y^2+1)}\sqrt{(x-y)^2(xy-1)^2+\left(\frac{(x-y)[(x^2+y^2+3xy)(xy+1)-x^3y^3-1]}{(x^2+1)(y^2+1)}\right)^2}$$ Je te propose de montrer
qu'elle vérifie l'inégalité triangulaire.
Muni de cette distance, $\Bbb R$ est homéomorphe à une lemniscate.
@Calli comment as-tu fabriqué cette distance originale ? -
etanche : Je viens de le dire sur l'autre fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2175240,2175572#msg-2175572.
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