Deux distances pas comme les autres
Bonjour,
SVP j'ai l'exercice suivant de mathématiques 2.
On définit $d :\R\times\R\to \R^+$ par
1) Montrer que d est une distance
2) Donner une suite $u_n$ qui tend vers 0 par la distance usuelle et qui tend vers 1 par cette distance
Svp peut-on m'aider . C'est urgent .
SVP j'ai l'exercice suivant de mathématiques 2.
On définit $d :\R\times\R\to \R^+$ par
Message original a écrit:$d(x,y)=|x-y|$ si $x$ et $y$ sont distincts de $0$ et $1$
$d(0,0)=d(1,1)=0$
$d(x,0)=d(0,x)=|1-x|$ si $x\neq 0$
$d(x,1)=d(1,x)=|x|$ si $x\notin \{0,1\}$
Message corrigé a écrit:$d(x,y)=|x-y|$ si $x$ et $y$ sont distincts de $0$ et $1$
$d(0,0)=d(1,1)=0$
$d(0,1)=d(1,0)=1$
$d(x,0)=d(0,x)=|1-x|$ si $x\notin \{0,1\}$
$d(x,1)=d(1,x)=|x|$ si $x\notin \{0,1\}$
1) Montrer que d est une distance
2) Donner une suite $u_n$ qui tend vers 0 par la distance usuelle et qui tend vers 1 par cette distance
Svp peut-on m'aider . C'est urgent .
Le 😄 Farceur
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Réponses
Alors $d(x,y)= |\sigma(x)- \sigma(y)|$, donc $d$ est une distance.
$(1+1/n)$ tend vers $0$ pour $d$, mais vers $1$ pour la distance usuelle.
Il y a une erreur dans l'énoncé car $d(x,0)=d(0,x)= |1-x|$ si $x \neq 0$, donc $d(0,1)=0$.
Pour l'inégalité triangulaire, on fixe $x$, $y$ et $z$ et on veut montrer que $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$. Si $x=y$ ou $y=z$ ou $z=x$, c'est évident donc on les suppose distincts.
- Si $x$, $y$ et $z$ sont tous différents de $0$ et $1$, c'est l'inégalité triangulaire classique.
- Si $x=0$ et $y=1$, on doit montrer que $1\le d(0,z)+d(1,z)$, i.e. (vu que $z\notin\{0,1\}$) $1\le |1-z|+|z|$, ce qui est bien connu. Idem si $x=1$ et $y=0$.
- Si $x=0$ et $z=1$, on doit montrer que $|1-y|\le 1+|y|$, ce qui est bien connu. Idem si $y=0$ et $z=1$ ou si $x=1$ et $z=0$ ou si $y=1$ et $z=0$.
- Si $x=0$ et $y,z\notin\{0,1\}$, on doit montrer que $|1-y|\le|1-z|+|z-y|$, ce qui est bien connu. Idem si $x=1$ (et $y,z\notin\{0,1\}$) ou si $y=0$ ou si $y=1$ (et $x,z\notin\{0,1\}$).
- Si $z=0$ et $x,y\notin\{0,1\}$, il faut montrer que $|x-y|\le|1-x|+|1-y|$, ce qui est bien connu. Idem si $z=1$ et $x,y\notin\{0,1\}$.
En principe, ça termine tous les cas.2) Si $(u_n)$ est une suite qui tend vers $0$ au sens usuel sans jamais prendre la valeur $0$, c'est-à-dire que $|u_n|>0$ pour tout $n$ et $\lim_{n\to\infty}|u_n|=0$, alors $d(1,u_n)=|u_n|$ pour tout $n$ donc $\lim_{n\to\infty}d(1,u_n)=0$.
J'avoue que c'est étonnant !
Edit : Eh bien, j'arrive très en retard avec une vue courte comme l'espoir d'échapper au rereconfinement. Je ne me félicite pas !
Merci infiniment Dom, etanche , marco et MC
Page 14 pour visualiser la distance SNCF
On pose
$$d(x,y) = \frac{1}{(x^2+1)(y^2+1)}\sqrt{(x-y)^2(xy-1)^2+\left(\frac{(x-y)[(x^2+y^2+3xy)(xy+1)-x^3y^3-1]}{(x^2+1)(y^2+1)}\right)^2}$$
Montrer que ce monstre est une distance
math2 "en blanc ----> ce fil est créé pour notre plaisir à tous"
Soit $h: x\mapsto \Big(\frac{x}{x^2+1}, \frac{x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} \Big)$ de $\Bbb R$ vers $\Bbb R^2$. C'est la paramétrisation d'une lemniscate (ou d'un nœud papillon ^^). Alors ma distance est $d(x,y)=\|h(x)-h(y)\|_2$. Quelques manipulations algébriques (mises sur le même dénominateur, développements puis factorisations différentes) m'ont permis d'effacer les traces. Quand on sait ça, il devient évident que c'est une distance (car $h$ est injective).
Et bravo Math Coss pour ton idée d'utiliser la trigonométrie. Je ne sais pas si ça marche, mais c'était inventif ![size=x-small]
la bijection $\phi: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $x\mapsto x$ si $x\not\in \{0,1\}$ et $x\mapsto 1-x$ sinon permet de définir la distance $\forall x,y\in \mathbb{R}, d(x,y):=|\phi(x)-\phi(y)|$ sur $\mathbb{R}$, qui est exactement celle de math2.