Source Ramanujan

Il faut que je retourne chez l'ophtalmo. Je ne sais pas pourquoi j'ai lu des $2$ partout où était écrit $4$...

Les partitions de $8$ ne faisant pas intervenir $1$ sont $2+2+2+2$, $2+2+4$, $2+6$, $2+3+3$ et $3+5$, donc l'égalité du fil revient à montrer que $P$ a une composante nulle selon $e_2^2e_4$, $e_2e_6$, $e_2e_3^2$ et $e_3e_5$. Hmmm, c'est beaucoup moins évident.

3ème edit: la remarque qui précède n'est pas très pertinente étant donné que, pour 3 indéterminées, $e_4=e_5=e_6=0$. Il suffit de montrer que $P$ a une composante nulle selon $e_2e_3^2$.

4ème edit: Soit donc
$$
\begin{eqnarray*}
P &:=&x_1^4(x_2-x_3)^4 + x_2^4(x_3-x_1)^4 + x_3^4(x_1-x_2)^4\\
&=& e_1\,Q +k\,e_2^4+\ell\, e_2e_3^2,
\end{eqnarray*}
$$
où $Q$ est un polynôme symétrique homogène de degré 7, et $k$, $\ell$ des entiers à trouver.
En évaluant en $(1,-1,0)$, qui annule $e_1$ et $e_3$ mais pas $e_2$, on trouve $k=2$.
En évaluant en $(1,1,-2)$, qui annule aussi $e_1$ (mais pas $e_2$ ni $e_3$), on trouve (par définition de $P$) $P(1,1,-2) = 2\cdot 3^4$, et comme $e_2(1,1,-2)=-3$, $e_3(1,1,-2)=-2$, on a aussi $P(1,1,-2) = 2(-3)^4 + \ell(-2)^4$. En comparant, $\ell=0$, et donc:
$$
P = e_1Q + 2\, e_2^4
$$
(pour un certain polynôme symétrique homogène de degré 7).

Bonjour, si $a=b=c=0$ on n'a rien à prouver, disons $c=1$ sans perte de généralité parce que l'égalité est homogène.

Puis remplacement $a=-1-b$ on aura un polynome de degré $8 $ en $b$ qui sera nulle pour par exemple $b=-5,\ldots,5$ donc identiquement nulle. Bien sûr trouver l'identité est différent de la prouver.