Pour une inégalité
Bonjour
Pour aider quelqu'un, j'aimerais des idées pour résoudre cette question.
Soient deux suites décroissante de nombres positifs $(u_i)$ et $(v_i)$.
On suppose qu'il existe $N$ tel que $\sum_{i=1}^{N}u_{i}=\sum_{i=1}^{N}v_{i}=N$.
Montrer que $\prod_{i=1}^{N}|u_{i}-v_{i}|<e^{\frac{N}{2}}$
Pour aider quelqu'un, j'aimerais des idées pour résoudre cette question.
Soient deux suites décroissante de nombres positifs $(u_i)$ et $(v_i)$.
On suppose qu'il existe $N$ tel que $\sum_{i=1}^{N}u_{i}=\sum_{i=1}^{N}v_{i}=N$.
Montrer que $\prod_{i=1}^{N}|u_{i}-v_{i}|<e^{\frac{N}{2}}$
Le 😄 Farceur
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Réponses
es-tu sûr du majorant attendu ${\rm e}^{N/2}$ ?
$u_i=1$, pour $i=1,\ldots,N$ et $v_i= \frac Nk$, pour $i=1,\ldots, k$ et $v_i=0$ pour $i>k$, donc le produit max est égale à $\left(\frac{N}{k} - 1\right)^k,$ et $\left(\frac{N}{k} - 1\right)^k<e^{\frac N2}\iff \ \log\left(\frac{N}{k} - 1\right) < \frac{N}{2k}.$ Cette inégalité est trivialement vraie (équivalente à $2\ln(x)<x+1$) https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+ln(x)<x+1
$u_1\ge \cdots, u_n$ et $v_1\ge \cdots, v_n$ deux suites décroissants de réelles non négatifs. $$\sum_{i=1}^nu_i=\sum_{i=1}^nv_i=n.$$ Le maximum de $\prod_{i=1}^n(u_i-v_i)^2$ est $(n-1)^2$ atteint seulement pour les suites $u_i=1$ pour tout $i$ et $v_1=n$, $v_i=0$ pour $2\le i \le n$.
Ceci est faux le maximum est $\ge (n-1)^2$
D'ailleurs ce n'est pas difficile de le prouver.
Disons $X_i=u_i-v_i$, on peut montrer qu'une suite est nécessairement $(n,0,\ldots,0)$ (de plusieurs façons?):
on suppose sans perte de généralite le contraire avec $v_1\ge u_1$ et $v_1\neq n$ en enlevant des valeurs de $v_1=n$ à $v_2$ clairement le produit diminue et ainsi de suite (ce n'est pas rigoureux mais on doit obtenir un tel résultat).
On arrive à maximiser $$\prod_{i=2}^{n}X_i^2(\sum_{i=2}^nX_i)^2$$ ici un résultat classique peut être appliquer (noter $X_i=u_i$) avec $\sum_{i=2}^nX_i=cte$ le maximum est pour tous les $X_i, (u_i)$ égales $2\le i\le n$, enfin on prouve que ce $u_i$ maximale est 1. D'ou l'inégalité annoncée.
Edit 2
@Tonm : Ta proposition est fausse.
Par exemple pour $N=10$, ta proposition de maximum pour le produit des valeurs absolues des différences est $10-1=9.$
Contre exemple :
$u_1=5, u_2=5, u_{i=3,...,10}=0$
$v_{j=1,...,10}=1$
Et le produit vaut $4.4.1...1=16.$
Le plus petit contre exemple est $N=7$ avec
$7/2,7/2,1,...,1$ et $1,...,1$ on a $25/4>6.$
Sinon un problème est aussi de trouver le maximum avec une des suites la suite constante. Même celle là ne semble pas facile.
Cordialement.
Excuses aussi.