Fonction holomorphe

Si le nombre de points est fini un polynôme fait l'affaire.

Merci

Il faut trouver les alpha et bêta tels que f holomorphe et bornée sur D(0,1) s'annule en les points:

(1-2^(-alpha.n)) exp(2pi i k 2^(-bêta .n))

n>=1 et 0<k<2^(bêta.n)

Voilà

le exponentielle(i.2pi k.2^(-bêta.n) me fait penser aux racines (2bêta) nèmes mais je suis en reprise d'études donc je galère var les cours sur les fonctions holomorphes sont lourds pour moi même si j'ai commencé doucement

Re!

J'ai pensé à la fonction f(z)=z^(2^bêta.n)-(1-2^(-alpha.n)^2^bêta.n)

J'ai raisonné comme avec les polynômes en me disant que si l'équation X^n=z avait une solution évidente z0 alors
toutes les solutions sont de la forme z0.exp(i 2kpi/n) avec 0<=k<n

Ici n= 2 puissance (bêta.n)

Oui merci beaucoup mais comment faire justement pour avoir un nombre fini de racines?

Ne connaissant pas cette notion de point d'accumulation , j'ai regardé sur Internet

J'aurais eu tendance à dire que 1 en était un mais 1 n'appartient pas au disque unité ouvert

Sinon tout nombre compris entre 0 et 1 contient plein de nombres de type 1-2(puissance -alpha.n) autour de lui

C'est là où j'ai du mal avec cette histoire d'accumulation que je confonds peut-être avec la limite de 1-2(puissance -alpha.n)

L'ensemble des zéros d'une fonction holomorphe non constante sur un domaine (un ouvert connexe) n'a pas de point d'accumulation.

Les racines n-ièmes de $1$ sont les racines de la fonction $x^n-1$ holomorphe sur tout le plan $\mathbb{C}$ et les racines n-ièmes de $r\in\mathbb{R}$ $r>0$ sont les racines de la fonction $x^n-r$ holomorphe sur tout le plan $\mathbb{C}$.

Excusez moi je reviens sur ce post.

Puis-je me permettre d'écrire que la fonction holomorphe sur le disque unité que je cherche est f(z)=z^2^bêta.n -(1-2^-alpha.n) ?
Ou d'écrire f(z) sous forme d'un produit de fonctions élémentaires de type(X-X1)(X-X2)......(X-Xn) ?
Les Xi étant les racines du polynômes ou les zéros de ma fonction holomorphe.
Il ne faut pas écrire la fonction sous forme d'une série entière ?

Aidez-moi s'il vous plaît. Au plus je lis de cours sur les fonctions holomorphes sur internet, au plus je suis perdue !

On dispose de ce théorème sur les fonctions analytiques. Soient $U$ un ouvert [connexe de $\mathbb{C}$ , $a$ un point de $U$ et une fonction analytique $f~:~U \to \mathbb {C}$ alors les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

$(1)$ $f$ est identiquement nulle sur $U$.
$(2)$ $f$ est identiquement nulle dans un voisinage de $a $
$(3)$ $\forall n \in \mathbb {N} ,f^{(n)}(a)=0 $
$(4)$ $f$ est identiquement nulle sur un ensemble de points possédant un point d'accumulation dans $U$.

On montre facilement que $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (4)$, la preuve repose sur $(4)\Rightarrow (1)$ : on considére l'ensemble $A$ des points $b$ de $U$ tels que $f$ soit nulle au voisinage de $b$, $A$ est ouvert on montre qu'il est fermé.

Bonjour,
Quel est l'énoncé exact du problème ?

ochi écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2179678,2183370#msg-2183370
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

---

Il y a bien plus que cela, je te conseille d'aller plus loin en empruntant ou en achetant le livre de Walter Rudin dont le titre traduit en français est "Analyse réelle et complexe" (je ne connais pas la version anglo-américaine de ce livre, c'est sa traduction par N. Dhombres et F. Hoffman).

Oui merci Alain Lyon.

C'est ce que nous avions trouvé plus haut quand nous avions parlé des racines n-èmes même si ici ce sont des racines 2 puissance bêta-èmes .

Mais avec d'autres étudiants, on se demande pourquoi alors cette question du prof :" Décrire tous alpha et bêta strictement positifs tels que etc. " puisque finalement on ne dit rien de plus sur alpha et bêta que ce que le prof dit dans l' énoncé.

Mais un grand merci pour tous tes postes, c'est hyper gentil.

Bonsoir, je découvre ce fil; pour une fonction holomorphe définie sur le disque unité, qui s'annule dans ce disque, les produits de Blaschke sont la réponse; expliqués dans Rudin: real and complex analysis , ou bien Garnett: bounded analytic functions ou bien dans Hoffmann: Banach spaces of analytic functions ou bien dans le bouquin des Queffelec chez Calvage et mounet: Analyse complexe et applications sans oublier les classique Ahlfors et Cartan.

Non, le problème posé initialement était clair; il y a simplement des conditions sur l'ensemble $Z$ des zéros de la fonction considérée; ainsi $Z$ne peut pas avoir de point d'accumulation si la fonction initiale n'est pas identiquement nulle.

Les facteurs de Blaschke: $B(\alpha)(z) = e^{i\theta z}\dfrac{\alpha - z}{1-\overline{\alpha}z} $ avec $\alpha \in D$ le disque ouvert unité envoient $D$ sur $D$ et le produit infini $ \displaystyle \prod_{n =1}^{\infty} B(\alpha_n)(z) $ avec $(\alpha_n)$ une suite d'éléments de $D$ définit une fonction dont les zéros sont les $\alpha_n$ à condition que le produit converge ce qui arrive si la série de terme général $\ 1 - |\alpha_n| $ converge. Dans ce cas, les zéros sont situés dans $D$.

L'autre possibilité (plus large) consiste à considérer les produits de Weierstrass; on définit ainsi le produit canonique de Weierstrass pour une suite de complexes $(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ avec $r_n = |z_n|$ par: $ \displaystyle \prod_{n =1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z}{z_n}\right) e^{\frac{z}{z_n}}$ si la série de terme général $1/r_n$ diverge et la série de terme général $1/r_n^2$ converge. De même, $ \displaystyle \prod_{n =1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z}{z_n}\right) $ converge si la série de terme général $1/r_n$ converge. On peut diminuer les conditions sur $r_n$ en modifiant la forme du produit.

La différence est que dans ce cas, on construit une fonction entière (rayon de convergence infini).

Les mots clé sont Blaschke, Weierstrass et Nevanlinna.

pas de souci.

Bonjour, dans mon Rudin, il y a des exercices non corrigés...Dans Queffelec en français, il y a des exercices corrigés.

Dans le livre compagnon de Lang, il y a des exercices corrigés: Shakarchi: Problems and Solutions... chez Springer.

Bonsoir,

L'identité est un contre-exemple ou quelque chose m'échappe ?

Cordialement,
Rescassol