Limite d'une suite

Si $k_n=1$ alors $n-1$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$

Vu qu'à $n$ fixé, le $k$ que tu cherches est celui en lequel $(n/k-1)^{k/n}$ est maximum et que la fonction $x\mapsto(x-1)^{1/x}$ est croissante jusqu'à son maximum $x_0\simeq4{,}59$ puis décroissante, tu as ta réponse, n'est-ce pas ?
Le maximum de la suite finie $\bigl((n/k-1)^{k/n}\bigr)_{1\le k\le n}$ est atteint en $k_n$ ou en $k_n+1$, où $\frac{n}{k_n+1}\le x_0\le\frac{n}{k_n}$ et on a $\lim\frac{n}{k_n}=x_0=\lim\frac{n}{k_n+1}$.

La limite en question est égale à $x_0=1+\exp(1+W(e^{-1}))$ où $W$ est la fonction de Lambert.
un peu plus de décimales