Équation différentielle $y'=(y-1)(y+1)$

Diasmine · February 2021

Bonjour à tous, je reviens solliciter votre aide pour un exercice type d'équations différentielles que j'ai du mal à traiter...
Tout d'abord, je ne suis pas sûre de moi pour la question 1...
Voici ce que j'ai répondu.

Soit $y$ une solution de (1), et soit $I$ son intervalle de définition.
$y$ constante $\Leftrightarrow \forall t \in I,\ y'(t) = 0 \Leftrightarrow y(t) = 1$ ou $y(t) = -1 \Rightarrow y(0) = 1$ ou $y(0) = -1$.

Cependant, je doute que ce soit la réponse cherchée car on a prouvé que ($y$ constante) $\Rightarrow (y(0) = 1$ ou $y(0) = -1$).
Pour moi, il fallait montrer que $y(0) = ? \Rightarrow y$ constante.
Mais comment trouver de tels $y(0)$ ?
Merci beaucoup pour votre aide ! 117066

AlainLyon · February 2021

Bonjour, si $y(0)$ est différent de $1$ ou $-1$ que vaut $y'(0)$? Pour cette valeur de $y'(0)$, $y$ est-elle constante dans un voisinage de $0$?

Diasmine · February 2021

Merci beaucoup pour votre aide! Lorsque $y(0)$ est différent à la fois de $1$ et de $-1$, $y'(0)$ est différent de $0$.
Et $y$ n'est pas constante dans un voisinage proche de $0$ j'imagine puisqu'elle est polynomiale.

Diasmine · February 2021

Mais je ne vois pas en quoi cela nous avance...

gerard0 · February 2021

Diasmine,

si y est constante, que vaut y' ? Donc, dans l'équation différentielle ...
(niveau première S).

"... puisqu'elle est polynomiale." ?? Tu parlais de y. D'où sors-tu qu'elle est un polynôme ?????

Cordialement.

gebrane · February 2021

La question est pour quelles valeurs de y_0 trouves-t-on une solution constante
Pour y_0=1,on trouve comme solution constante la constante 1
Pour y_0=-1,on trouve comme solution constante la constante -1
Maintenant si y_0 est différente de 1 et -1 et si l’équation admet une solution constante, alors ...

Diasmine · February 2021

@ gerard0. $y$ est constante donc $y'$ = 0 bien sûr... Et donc en particulier $y'(0) = 1 ou -1$.
Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi à partir de $y(0) = 1$ ou $-1$ , on peut généraliser que la fonction est constante.

Oui pardon $y'$ est polynômiale.

Diasmine · February 2021

@ gebrane: merci beaucoup! Je ne comprends toujours pas pourquoi le fait que $y_0$ soit égale à 1 ou -1 implique nécessairement que $y(t) = k$, quelque soit $t \in I$ ($I$ est le domaine de définition de la solution $y$).

Pour moi, le fait que $y_0 = 1$ ou $-1$ est une solution nécessaire, mais pas forcément suffisante....

Et si $y_0$ est différent de $1$ ou $-1$, et que y est constante, on aboutit à une contradiction. Donc ce n'est pas possible.

gebrane · February 2021

Unicité du problème de Cauchy

gerard0 · February 2021

Comment sais-tu que y' est un polynôme ?

"La question est pour quelles valeurs de y_0 trouves-t-on une solution constante ". Ben ... si y est constante (donc égale à y(0)=y₀), y' vaut 0, donc (y(x)-1)(y(x)+1)=0 et pour x=0, (y₀-1)(y₀+1)=0 donc y₀ = ...
Et ensuite, la réciproque est évidente : les fonctions y(x)=1 et y(x)=-1 sont bien solutions.

Cordialement.

NB : Tu sembles prendre la question à l'envers. L'hypothèse de la question est bien "y est constante".

Diasmine · February 2021

Gebrane: nous n'avons pas encore vu ce théorème. L'objectif de l'exercice est justement de ne pas l'utiliser!

Gerard0: D'accord, justement si le fait que $y$ soit constante est l'hypothèse, alors c'est simple! Et pour l'histoire du polynôme, c'était une grosse bêtise de ma part...
Merci beaucoup!

Voici comment j'ai traité la question suivante:

2) $y'/(y+1)(y-1) = $.

En suivant la méthode de séparation des variables, j'ai trouvé que :
$y(t)(y_0 +1 + e{2t}(1-y_0)) = (y_0-1)e{2t}+y_0+1$.

3)a) La consigne nous dit de nous servir de la question précédente.

Soit $y_0$ différent de 1 et de -1.
Supposons que $y$ prend la valeur 1 ou -1 en au moins un point.

Soit $x \in I$ tel que: $y(x) = 1$.

En injectant cela dans l'équation trouvée en 2), on voit que cela implique que $y_0= 1$, ce qui est absurde.
Quand $y(x) = -1$, on aboutit à $y_0$ = - 1 donc à une absurdité.

Donc la solution du problème de Cauchy ne prend la valeur +/- 1 en aucun point.

b) C'est là où je bloque, je ne vois pas le lien entre ce qui a été démontré précédemment et l'unicité de la solution maximale...

jean lismonde · February 2021

bonsoir

tu peux résoudre directement ton équation différentielle $y' = (1+y)(1-y)$ avec $y(0) = y_0$

$\frac{y'}{(1+y)(1-y)}=1$ soit après décomposition : $\frac{1}{2}[\frac{y'}{y-1} - \frac{y'}{y+1}] = 1$

soit après intégration terme à terme :

$$\frac{1}{2}ln\frac{y-1}{y+1}= x + k$$

avec y appartenant à ]-oo ; -1[ U ]1 ; +oo[ et k constante d'intégration soit encore

$y = \frac{1 + e^{2x + 2k}}{1 - e^{2x + 2k}}$ soit encore $y = \frac{1}{th(x+k)}$

th(x) est la tangente hyperbolique de x

pour x = 0, l'image par y est $y_0$ et donc $k = \frac{1}{2}ln\frac{y_0 + 1}{y_0 - 1}$

il n'existe pas de solution constante

cordialement

Diasmine · February 2021

Merci beaucoup Jean lismonde!

J'ai utilisé quasiment la même méthode pour la question 2!
Le problème c'est que la question 3)b) suggère qu'il faut déduire de la question 3)a) qu'il existe une unique solution maximale. Peut-être y a-t-il donc une solution plus rapide?

En tout cas merci beaucoup je prends note de tout ce que vous avez écrit!

etanche · February 2021

Les solutions maximales ne peuvent pas se croiser, donc elles sont contenue dans y>1 , -1<y<1, y<-1 , y=- 1 , y=1

Diasmine · February 2021

Jean Lismonde. $y(t)$ ne serait-elle pas plutôt égale à $-1/\tanh(t+k)$ ?
De plus, je ne vois pas le rapport entre le fait qu'il n'existe pas de solution constante et le fait qu'il existe une unique solution maximale ...

etanche. Merci beaucoup ! Que voulez-vous dire par "les solutions ne peuvent pas se croiser" ?

Équation différentielle $y'=(y-1)(y+1)$

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