Bijection

christophe c
christophe c
dans Analyse
Pardon de demander ça de mon téléphone. Un exemple de bijection analytique de IR dans IR autre que des fractions rationnelles ? Merci d'avance!
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Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Ah que je suis bête. On doit pouvoir ajouter une affiné à la fonction sinus pour que ça marche. Sorry..
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  • christophe c
    christophe c
    Bon je profite de ce fil irréfléchi pour poser des petites questions en passant.

    Soit deux fonctions dont l'une est analytique et dont la courbe de l'une est l'image de la courbe de l'autre par une bijection linéaire du plan dans lui-même (resp rotation). Les deux sont elles analytiques ?

    Autre question : une bijection analytique non triviale dont toutes les dérivées sont monotones ?
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  • Corto
    Corto
    Pour la première question c'est non, par exemple prends le graphe de la fonction arctangente et prends son graphe tourné de $\pi/4$, tu obtiens le graphe d'une fonction ayant une dérivée infinie en $0$. Ce serait intéressant de trouver un contre-exemple ne passant pas par une dérivée qui devient infinie en un point (si c'est possible).

    Pour la deuxième question tu peux prendre $x\mapsto x+e^x$, si tu considère ça comme non trivial.
  • christophe c
    christophe c
    Merci beaucoup et bravo Corto.

    Pour cette histoire de déformation, je peux poser une question assez proche et un peu plus générale:

    soient 2 fonctions analytiques $f,g$ telles que $\{(f(x),g(x)) \mid x\in \R\}$ est une application $h$ de $\R\to \R$. Est-ce que $h$ est analytique (aux tangentes verticales près)?

    Je pense que oui, mais je trouve la question mériter d'être posée.
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  • bisam
    bisam
    Pour la première question : $x\mapsto x+\sin(x)$.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Corto : Infinie en $0$, non ?
  • Corto
    Corto
    GA : tu as raison, je vais corriger cette faute de frappe. Rien à voir mais est-ce que tu as vu ma réponse à ton message ici ?

    CC : À vérifier mais je crois qu'il suffit de poser $y = f^{-1}(x) $ (au moins ponctuellement) et on se retrouve à étudier l'ensemble $\{(y, g(y)) : y \in \R\}$. Si la paramétrisation particulière du graphe $x \mapsto (f(x),g(x))$ t'intéresse alors je crois que le théorème d'inversion locale possède une version analytique et devrait répondre à la question.

    J'en profite pour poser une autre question reliée :

    Soit $f : \R \to \R$ une fonction $1$-Lipschitzienne et soit $g$ la fonction dont le graphe est obtenu en prenant le graphe de $f$ et en effectuant une rotation d'angle $\theta<\pi/4$. Si $f$ est $C^n$ en est-il de même pour $g$ ? Si oui déterminer les dérivées successives de $g$ en fonction de celles de $f$. Peut-on en déduire que $f $ analytique $\implies$ $g$ analytique ?
  • christophe c
    christophe c
    Merci à tout le monde. Pour ta dernière question, Corto,,j'avais l'impression qu'elle était couverte par la bleue, non?
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  • Corto
    Corto
    CC a écrit:
    Corto,,j'avais l'impression qu'elle était couverte par la bleue, non?
    Hmmm bonne question, là comme ça je ne sais pas !

    Reste tout de même le calcul explicite des dérivées de $g$ en fonction de celles de $f$ et de $\theta$.
  • christophe c
    christophe c
    "calcul explicite" :-D C'est tout l'intérêt des forums publics, je ne serai pas d'une grande aide...
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  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Corto a écrit:
    Soit $f : \R \to \R$ une fonction $1$-Lipschitzienne et soit $g$ la fonction dont le graphe est obtenu en prenant le graphe de $f$ et en effectuant une rotation d'angle $\theta<\pi/4$. Si $f$ est $C^n$ en est-il de même pour $g$ ? Si oui déterminer les dérivées successives de $g$ en fonction de celles de $f$. Peut-on en déduire que $f $ analytique $\implies$ $g$ analytique ?

    Comme $e^{i\theta}(x+iy) = (x\cos\theta-y\sin\theta)+i(x\sin\theta+y\cos\theta)$, on a : $$\forall x\in\Bbb R, \quad g(x\cos\theta-f(x)\sin\theta) = x\sin\theta+f(x)\cos\theta.$$
    Posons $h:x\mapsto x\cos\theta-f(x)\sin\theta$.
    Si $h(x)=h(x')$, alors $(x-x')\cos\theta = (f(x)-f(x'))\sin\theta$, donc $(f(x)-f(x')) = (x-x') \mathop{\rm cotan}\theta$. Comme $|{\rm cotan}\,\theta|>1$ et $f$ est 1-lipschitzienne, on a $x=x'$. Donc $h$ est injective.
    De plus $\forall x, h'(x) = \cos\theta-f'(x)\sin\theta \neq 0$ car $|{\rm cotan}\,\theta|>1$ et $|f'(x)|\leqslant 1$. Donc $h$ est un ${\cal C}^n$ difféomorphisme de $\Bbb R$ vers son image.
    Ainsi, $$\forall t\in\Bbb R, \quad g(t) = h^{-1}(t)\sin\theta+f\circ h^{-1}(t)\cos\theta$$ et $g$ est de classe ${\cal C}^n$.
    On pourrait théoriquement calculer les dérivées successives de $h$ en fonction de celles de $f$ et de la fonction $h^{-1}$, mais ce serait très pénible.
    De même, si $f$ est analytique, alors $h$, $h^{-1}$ et enfin $g$ le sont aussi.
  • Corto
    Corto
    Merci Calli :-)

    Je propose une reformulation un peu plus géométrique mais pas tout à fait complète de la démonstration, c'est pour moi, ça m'aide à mieux comprendre. Je note $R_\theta$ la rotation du plan d'angle $\theta$ ainsi que $\Gamma_f$ et $\Gamma_g$ les graphes de $f$ et $g$, évidemment $R_\theta \Gamma_f = \Gamma_g$.
    1)Si $f$ est dérivable alors $\Gamma_f$ admet une tangente en tout point, il en va donc de même pour $\Gamma_g$ : les tangentes s'obtiennent par la même rotation $R_\theta$.
    2)Si $f'(a) = \alpha$ cela veut dire que la tangente au graphe de $f$ qui passe par $(a,f(a))$ forme un angle $\rho = \arctan(\alpha)$ avec l'axe des abscisses.
    3)Par conséquent la tangente au graphe de $g$ qui passe par le point $R_\theta (a,f(a))$ forme un angle $\rho+\theta< \pi/2$ avec l'axe des abscisses et son coefficient directeur est donc $\tan(\theta + \arctan(f'(a)))<\infty$.
    4)Ainsi la courbe $\Gamma_g$ admet une tangente non verticale en tout point : la fonction $g$ est bien dérivable. Plus précisément, $g'(\pi_x (R_\theta (a,f(a)))) =\tan(\theta + \arctan(f'(a)))$ où $\pi_x$ est la projection sur l'axe des abscisses.

    Pour l'analycité de $g$ il suffit de vérifier que la réciproque de $a \mapsto \pi_x (R_\theta(a,f(a)))$ est analytique.

    En bidouillant un peu on trouve de plus $g'(a) = \tan(\theta + \arctan(f'(\pi_x (R_{-\theta}(a,g(a))))))$, la fonction $g$ satisfait donc une équation différentielle qui fait vite comprendre qu'on n'a pas envie de calculer explicitement les dérivées successives de $g$ (:D
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