Limite d’une somme

Arnaud_G
Arnaud_G
dans Analyse
Bonjour
Ayant déjà montré que $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}.

$$ On me demande de montrer que $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{2}.

$$ Faut-il commencer par décomposer la somme en deux parties selon le signe de l’indice ?
Ou essayer de majorer la valeur absolue de la différence avec pi sur 2 par un terme qui tend vers 0 ?
Une piste ?
Merci d’avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Toutes les méthodes qui marchent sont bonnes.
    La première que tu indiques est naturelle, je trouve.
    Et ça doit fonctionner.

    Pour $k$ entier naturel, on note $a_k$ le terme général.
    Essayons d’écrire $a_{-k}$, peut-être ?

    Ici, en écrivant les premiers termes, on voit ce qui se passe.
  • gebrane
    gebrane
    Essaie de calculer $\sum_{k=-n}^{-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{-2k+1}$ en fonction de $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}$
    Le 😄 Farceur


  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Il me semble qu’elles sont égales en fait.
  • gebrane
    gebrane
    Montre le
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    As-tu essayé d’écrire par exemple $\displaystyle \sum_{k=-5}^{k=5} a_k$ ?
  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Je tente :

    $$\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{-2k+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k+2}}{2(k+1)-1}= \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{2k+1} $$

    Cette dernière somme a la même limite que celle déjà connue.
  • Dom
    Dom
    Oui, c’est ça :-)
  • gebrane
    gebrane
    Non , c'est pas ça, corrige ta faute
    Le 😄 Farceur


  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Je cherche.... c’est lors de la translation de la variable k ?
  • gebrane
    gebrane
    Vérifie chaque égalité et tu trouvera ta faute
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    J’ai pourtant vérifié mais ne trouve pas d’erreurs non plus...

    Peux-tu nous la désigner explicitement, gebrane ?

    Cordialement
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    c'est Arnaud qui a raison : la limite de la seconde série est bien : $\frac{\pi}{2}$

    cordialement
  • gebrane
    gebrane
    Dom , c’était une grande défaillance de ma vue .
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Pas de problème :-)
  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Bon, donc c'est correct ?
  • Dom
    Dom
    Oui !
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Bonjour!

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