Dérivée de x^^n ? (notation Knuth)

AdeLaCroix
AdeLaCroix
dans Analyse
Bonsoir à tous
Je viens ici vous demander si vous connaissez une expression de la dérivée (par rapport à x bien sûr) de x^^n. Où "^^" est la notation des puissances itérées de Knuth (Normalement deux flèches vers le haut que le forum m'empêche d'écrire).

Pour ceux qui ne connaissent pas : $
x\uparrow\uparrow n = \underbrace{x^{x^{x^\ldots}}}_{n\text{ fois}}$
Ou alors :
$x\uparrow\uparrow 0= 1$
$x\uparrow\uparrow (n+1) = x^{x\uparrow\uparrow n}$, quelque soit $n$ entier naturel.
Merci ! (:P)

Réponses

  • AitJoseph
    AitJoseph
    Récurrence
  • AdeLaCroix
    AdeLaCroix
    AitJoseph écrivait:
    > Récurrence


    Et comment ?
  • AdeLaCroix
    AdeLaCroix
    Je ne vois aucune récurrence :-S
  • gebrane
    gebrane
    \begin{align*}\frac{d}{dx}\left(x\uparrow\uparrow n\right)
    &=\frac{d}{dx}\left(x^{x\uparrow\uparrow (n-1)}\right)\\
    &=\frac{d}{dx}\left(e^{x\uparrow\uparrow (n-1)\cdot\log x}\right)\\
    &=e^{x\uparrow\uparrow (n-1)\cdot\log x}\left(\frac{x\uparrow\uparrow (n-1)}{x}+\log x\cdot\frac{d}{dx}\left(x\uparrow\uparrow (n-1)\right)\right)\\
    &=x\uparrow\uparrow n\left(\frac{x\uparrow\uparrow (n-1)}{x}+\log x\cdot\frac{d}{dx}\left(x\uparrow\uparrow (n-1)\right)\right)\end{align*}117626
    Le 😄 Farceur


  • AdeLaCroix
    AdeLaCroix
    gebrane
    J'ai trouvé également cette relation mais je cherche en fonction de n et de x l'expression de la dérivée de x^^n si cela est possible...
    Je pensais que cela serait possible par les suites, me trompé-je ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Avec cette formule de récurrence, on doit pouvoir trouver une formule explicite sous la forme d'une somme de produits.
  • gebrane
    gebrane
    $$\frac{d}{dx}\left(x\uparrow\uparrow n\right)=\frac{\prod_{k=1}^{n}\left(x\uparrow\uparrow k\right)(\ln x)^{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1}\prod_{l=k}^{n}\left(x\uparrow\uparrow l\right)(\ln x)^{n-k-1}}{x}.

    $$ C'est juste ?
    Le 😄 Farceur


  • Calli
    Calli
    Je suis d'accord, même si je l'écrirais plutôt $$\frac{\rm d}{{\rm d}x}\left(x\uparrow\uparrow n\right)=\frac1x \left[ (\ln x)^{n-1} \prod_{k=1}^{n}\left(x\uparrow\uparrow k\right) + \sum_{k=1}^{n-1}(\ln x)^{n-k-1} \prod_{\ell=k}^{n}\left(x\uparrow\uparrow \ell\right) \right].$$ C'est moins ambigu.
  • AdeLaCroix
    AdeLaCroix
    Merci !
  • AdeLaCroix
    AdeLaCroix
    Comment avez vous fait ?
  • gebrane
    gebrane
    Voila comment j'ai fait a écrit:
    J'ai préparé un bon café
    J'ai mis de la musique que j'aime
    J'ai cherché des feuilles blanches de préférence format A4
    Un crayon bien taillé et une gomme.
    Le 😄 Farceur


  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    gebrane est Remarque ou il a emprunté son avatar ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • gebrane
    gebrane
    C'est un emprunt limité dans le temps ( je l’espère) et bien sûr dans l'espace.
    Le 😄 Farceur


  • Calli
    Calli
    AdeLaCroix : Moi j'ai calculé les dérivées de $x\uparrow\uparrow 1$, $x\uparrow\uparrow 2$, $x\uparrow\uparrow 3$ et $x\uparrow\uparrow 4$ pour essayer de voir un motif. À toi de vérifier par récurrence si notre formule est bien vraie.
  • AdeLaCroix
    AdeLaCroix
    Oui je m'en doutais, en tout cas merci beaucoup !
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