Bonjour à tous, ma question est toute bête, peut-on appliquer le TCD juste en disant que la limite est intégrable ? Vu sa formulation j'imagine que non du coup si vous avez un contre-exemple ça fait plaisir, merci !
Il suffit de prendre une bosse glissante pour avoir un contre-exemple : $f_n(x) = \mathbf{1}_{[n;n+1]}(x)$, ou si on veut quelque chose de continu $f_n(x) = \exp(-(x-n)^2)$.
Ça suffit si la limite est elle-même un majorant cependant, ce qui se produit si on a une hypothèse de croissance par exemple, mais tant qu'à faire on peut appliquer le théorème de convergence monotone dans ce cas-là.
Réponses
Et peut-on dire que "la limite quand $n$ tend vers l'infini de $f_n(x) = \exp(-(x-n)^2)$ n'existe pas" ?
Merci
Il faut dire quoi alors dans ce cas précis pour cette suite de fonctions ? J'ai envie de dire qu'elle tend vers $0$, mais je ne suis pas sûr...
En termes grossiers : il y a aura toujours une cloche à l'infini:-D
La suite de fonctions $(x \mapsto \exp(-(x-n)^2))_n$ converge simplement vers la fonction nulle.
Donc plus de cloche à l'infini pour parler comme un physicien mal élevé ? Etonnant...
$L_1$ c'est bien l'espace des fonctions intégrables ?
Alors
$$
\| f_n - f_{\infty} \|_{L^1(\mathbb{R})} = \int_{-\infty}^{+\infty} |f_n(x)|dx = \sqrt{\pi},
$$ et cette dernière quantité est constante, et ne tend donc pas vers 0 (ce qui est la définition de convergence $L^1$).
Elle ne converge pas dans $L_2$, ni $L_{\infty}$ non plus...