Convergence uniforme d'une suite de fonctions

ernst · February 2021

Bonsoir à tous. J'espère que vous allez bien.
J'ai une petite incertitude et j'aimerais que vous m'aidiez à être éclairer.

En fait, il s'agit de prouver la convergence uniformede la suite de fonctions $(g_n)$ définie par $\forall x \in \left[0,1\right],\ g_n(x)=x^{n}\sin(\pi x)$.

Voila comment j'ai décidé de faire. Je sais déjà que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle.
Soit $n$ un entier naturel, et $x$ élément de $\left[0,1\right]$. Soit $a$ un élément de $\left[0,1\right]$ tel que $x\leq a$.
Alors on $x^{n}\leq a^{n}$, et $\sin(\pi x) \leq 1$. Donc, $x^{n}\sin(\pi x) \leq a^{n}$.
Or, $\parallel g_n\parallel _\infty = \sup{| g_n(x)|,\, x\in \left[0,1 \right] }$ et $\forall x \in \left[0,a\right],\ g_n(x) \leq a^{n}$ et comme $a^{n} \rightarrow 0 $ quand $n$ tend vers l'infini, on déduit que la suite de fonctions $(g_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle.
Je veux savoir si cette démonstration est rigoureuse.
Merci d'avance !

Math Coss · February 2021

Assurément pas !
Première interrogation : d'où sort et à quoi sert ce $1-x$ ?
Deuxième interrogation : es-tu sûr que $a^n$ tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini ?
En fait, tu voulais sans doute seulement écrire $a^n\to0$.

Problème principal : tu montres que $\lim_{n\to\infty}\sup_{a\in\left[0,1\right[}\sup_{x\in[0,a]}\left|g_n(x)\right|=0$. Quel rapport avec ce que tu veux, à savoir $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}\left|g_n(x)\right|=0$ ?

En fait, la seule chose que tu fais, c'est de majorer $g_n(x)$ par $a^n$ sur $[0,a]$. Cette majoration est valable pour $g_n(x)=x^n$, de sorte que ta démonstration devrait entraîner que cette suite-ci converge uniformément vers $0$ sur $\left[0,1\right[$. Ce n'est pas le cas puisque l'on a (vérifie !) \[\lim_{n\to\infty}\sup_{a\in\left[0,1\right[}\sup_{x\in[0,a]}\left|g_n(x)\right|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right[}\left|g_n(x)\right|=1.\]

ernst · February 2021

Bonjour, excusez moi pour le 1-x, je me suis trompé. J'ai corrigé.

Mais, comme il est question de prouver la convergence uniforme vers 0 de la suite $g_n(x)$, $\parallel g_n\parallel_+\infty$ ne peut pas tendre vers 1.
Voici l'exercice:

A la question de savoir le rapport, en fait, l'idée était de montrer que $g_n(x)$ converge uniformément sur $\left[0,a \right]$ pour ensuite faire tendre a vers 1 pour avoir le résultat recherché.

gerard0 · February 2021

Bonjour.

La convergence uniforme sur un intervalle ne passe pas à la limite. la suite de fonctions $h_n:x\mapsto x^n$ (définies sur [0,1]) converge uniformément vers 0 sur $[0,a]$ pour tout $0<a<1$, mais pas sur [0,1].

Ton exercice se fait facilement en majorant chaque $g_n$ sur $[0,1]$ par un $a_n$ qui tend vers 0. Tu peux commencer par le faire pour les $f_n$.

Cordialement.

Guego · February 2021

Commence par montrer la convergence uniforme de $f_n$. Pour $g_n$, sers-toi ensuite de $f_n$.

ernst · February 2021

Oui oui je sais qu'on peut majorer sur [0,1] la norme infinie de $g_n(x)$ par $\pi\parallel f_n\parallel _\infty $.
Mais je voulais aussi essayer cette méthode pour voir si ça pouvait marcher. Il me semble aussi que souvent on utilise un tel raisonnement pour montrer la convergence uniforme dune suite de fonctions quand on a des difficultés a minorer la norme infinie par une suite dépendante de n qui tend vers 0.

gerard0 · February 2021

Bonjour Ernst.

Tu as vu des preuves de "$f_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ avec l'argument "Pour tout $c$ tel que $a<c<b$, $f_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,c]$" ?
J'aimerais voir ça.
Cordialement.

gilles benson · February 2021

bonjour, pour la question de la convergence uniforme, dans le cas de la première suite : $f_n: x \to x^n(1-x)$ qui est une suite de fonctions polynômes simples, il y a un moyen raisonnable de trouver un majorant de $|f_n(x)|$ si $x \in [0;\; 1]$ sans passer par la majoration $0 \leq x^n \leq a^n $ si $0<a<1$ qui ne couvre pas le cas $a=1$ et ceci est justifié par le fait que la limite simple de la suite est la fonction nulle...

gilles benson · February 2021

comme le dit Gerard, la convergence sur [0; a] avec 0 < a <1 n'entraine pas la convergence (uniforme) sur [0; 1], avec le simple exemple $f_n(x) = x^n $ qui converge simplement vers $f(x) = \left \{ \begin{array}{1} 0 \; si \; 0 \leq x < 1 \\
1 \; si \; x = 1
\end{array} \right. $