Théorème des résidus et fonctions impaires...
Bonjour à tous,
par une lubie matinale j'aimerais calculer l'intégrale
$$
\int_0^{+\infty} \frac{3u^3}{1+u^6}du
$$
via la formule des résidus. L'intégrande étant impaire, l'application de cette fameuse formule me donne un splendide $0=0$.
Y a-t-il une façon de faire efficiente ?
D'avance merci.
F.
PS: Bien évidemment sans les résidus, on s'en sort avec un brave $v=u^2$....
par une lubie matinale j'aimerais calculer l'intégrale
$$
\int_0^{+\infty} \frac{3u^3}{1+u^6}du
$$
via la formule des résidus. L'intégrande étant impaire, l'application de cette fameuse formule me donne un splendide $0=0$.
Y a-t-il une façon de faire efficiente ?
D'avance merci.
F.
PS: Bien évidemment sans les résidus, on s'en sort avec un brave $v=u^2$....
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Réponses
$$\int_0^\infty \frac{P(x)}{Q(x)} \textrm{d}x = - \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\textrm{Res}} \, \frac{P(z)}{Q(z)} \log z$$
où $P$ et $Q$ sont deux polynômes tels que $\deg P < \deg Q -2$, $Q$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}_+$ et $z_1,\dotsc,z_n$ sont les racines de $Q$. La détermination du logarithme choisie ici est celle qui vérifie $0 < \arg(z) < 2 \pi$.
effectivement Guego, cela fonctionne très bien !
@noix de totos: quelle contour utilise-t-on pour obtenir cette formule ? La condition sur les degrés de $P$ et $Q$ sert à justifier la convergence de l'intégrale ou de façon équivalente à justifier que l'intégrale sur un arc de cercle tend vers 0 lorsque le rayon tends vers $+\infty$ mais n'a a priori rien à voir avec la formule des résidus ?
A+
F.
Dans mon précédent message, il s'agit d'une forme possible lorsqu'on désire intégrer sur la demi-droite $\R_+$. Il y en a d'autres.
Ce résultat est en fait une conséquence d'un théorème plus général invoquant des fonctions analytiques $f$ qui vérifient certaines hypothèses. Le contour utilisé est $C = \gamma \cup d \cup (-d) \cup \Gamma$, où $\gamma$, resp. $\Gamma$, est ce cercle de centre $O$ et de rayon $r$, resp. $R > r$, $R$ étant suffisamment grand pour que $\Gamma$ contienne toutes les singularités de $f$, et $d = \left[r,R\right]$.
tu connais sans doute l'intégrale : $\int_0^{+oo}\frac{dt}{1+t^x}$ avec x > 1
on peut la déterminer par l'intermédiaire d'un développement en séries de Riemann,
elle est égale à $\frac{\frac{\pi}{x}}{sin\frac{\pi}{x}}$
par un changement judicieux de variable d'intégration et avec 0 < y + 1 < x
tu en déduis l'intégrale :
$$\int_0^{+oo}\frac{t^y}{1+t^x}dt = \frac{\frac{\pi}{x}}{sin(y+1)\frac{\pi}{x}}$$
si y = 3 et x = 6 et en multipliant le résultat par 3 il vient ton intégrale I : $$I = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$$
cordialement
F.
non je ne connaissais pas (ou plus) cette intégrale. Par contre, pour retrouver le résultat que tu donnes j'ai eu recours à la méthode "Guego" qui fonctionne très bien ici aussi.
Par contre, je ne me rappelle plus comment faire avec les séries de Riemann. Si tu as un instant pour assouvir ma curiosité....J'aurais bien jeté un oeil dans ce bon vieux "Pabion", je l'ai malheureusement égaré ;-)
Bonne journée
F.