Équation complexe

Shimasiike
Shimasiike
dans Analyse
Salut
svp aidez-moi dans la deuxième question d'exercice 2.
Merci d'avance.117944

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Qu’as-tu trouvé dans la question ?

    Cordialement

    Dom
  • Shimasiike
    Shimasiike
    j'ai trouvé z=4*exp(pi*i)
  • Dom
    Dom
    Ok note ça en remplaçant mes guillemets par des dollars : « z=4\times \exp (i\pi) » ce sera plus beau.

    Alors on va essayer de résoudre la question 2.

    Soit $u$ une solution complexe de l’équation $u^4=-4$.

    Soyons maladroit : alors il existe deux réels uniques $x$ et $y$ tels que $u=x+iy$...
    Soyons plus adroit : écris $u$ sous la forme polaire...
    « il existe ... ».
  • gebrane
    gebrane
    Si tu trouves une solution les 3 autres sont évidentes
    Le 😄 Farceur


  • Shimasiike
    Shimasiike
    J'ai fait ça et je ne sais pas comment continuer le calcul :(117954
  • Dom
    Dom
    Zut !

    La feuille me fait me tordre le cou.
    Pire, j’ai dit « soyons maladroit » avec une pointe d’ironie.
    Essaye plutôt la méthode « soyons plus adroit ».

    Je ne lis pas cette feuille car ce n’est pas une méthode pertinente.
    On pourra y revenir après cela dit, pour voir...
  • Shimasiike
    Shimasiike
    oki merci
  • biely
    biely
    Méthode pas pertinente mais c’est dommage d’arrêter si près du but. Une substitution pour arriver à une équation bicarrée qui a -1 comme solution évidente.
    Même chose que Dom, sur ma tablette j’ai la feuille qui tourne sans cesse...:-D
  • Shimasiike
    Shimasiike
    biely
    Merci beaucoup :)

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    La fin de la « mauvaise méthode » est fausse : des $=>$ (ou des « donc ») sont faux.

    Bon, comme il est tard.
    Voilà ce que l’on pourrait attendre pour la méthode avec la forme polaire :

    Si $u$ est un complexe qui vérifie $u^4=-4$, alors $u$ est non nul donc il existe un réel strictement positif $r$ et un nombre réel $a$ dans $[0;2\pi[$ tel que : $u=r\exp (ia)$.
    Donc : $(r\exp (ia))^4=-4$.

    À toi de faire la suite.
  • gerard0
    gerard0
    On peut aussi faire une résolution algébrique directe, en traitant l'équation par les méthodes basiques (tout mettre dans un seul membre et factoriser :
    $x^4 = -4$
    $x^4+4 =0$
    $x^4+4x^2 + 4 - 4x^2 = 0$
    $(x^2+2)^2 - (2x)^2=0$
    etc.

    (factorisation courante autrefois en lycée)

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Le plus simple est de dire si $z_0$ est une solution de l’équation $z^4=Z$, alors l'ensemble de solutions est $$\{z_0,-z_0,iz_0,-iz_0\}$$ cae $i^4=1$
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    On peut bousiller l’exercice et s’exclamer qu’il est mal posé ou bien tenter de le suivre un petit peu.
    On peut aussi donner des indications pour satisfaire l’auteur du fil sans qu’il ne s’éparpille dans diverses directions.

    On peut tout faire, en fait...
  • gebrane
    gebrane
    Dom, l’exercice n' est pas mal posé
    Dans la 1, on lui demande d’écrire -4 sous la forme qui donne une solution évidente à son équation
    Dans la 2, on lui demande de chercher toutes les solutions
    (Ce que je propose est rapide et utile dans un exam)
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Je devine que l’auteur souhaite utiliser le 1) pour faire le 2).
    Évidemment chacun est libre de faire le 2) sans le 1).

    Bon, je disais ça pour davantage aider que pour critiquer avec affront les intervenants.
    Je les salue volontiers d’ailleurs.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    ton équation s'écrit $u^4 + 4 = 0$ que l'on factorise :

    $(u^2 + 2i)(u^2 - 2i) = 0$

    soient 4 racines conjuguées deux par deux :

    $u = + ou - \sqrt{2}(1 + ou - i)$

    cordialement
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