Bonsoir à tous. J'espère que vous allez bien. Svp aidez-moi à comprendre ce que j'ai souligné dans l'image. Je regarde depuis mais je ne vois pas svp aidez-moi !
Merci d'avance !
Désolé, mais je ne comprends pas ce que tu as dit.
Ce que je sais, c'est que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ si $\int_{0}^{\infty }{f(x)dx}$ existe dans $\mathbb{R}$. Et je sais aussi que la convergence absolue de l'intégrale entraîne sa convergence simple. Mais, à vrai dire je ne comprends pas ce que tu dis.
Merci de me comprendre.
Non, ta phrase « $f$ est intégrable sur ... » est fausse.
La définition de « intégrable sur un intervalle non bornée » est avec une valeur absolue.
(On peut dire : « intégrable sur cet ensemble » revient à dire que « l’intégrale est absolument convergente »)
Cette fonction n’est pas intégrable sur cet ensemble mais par contre l’intégrale (généralisée) est (semi) convergente.
« semi convergente » signifie « convergente sans être absolument convergente ».
Il y a une grosse différence entre "l'intégrale converge" (théorie des intégrales généralisées) et "la fonction est intégrable" (théorie de l'intégration).
Engel, est ce que tu as vu dans ton cours comment on définit l’intégrale d'une fonction positive sur un intervalle quelconque ? Si oui donne nous la définition de ton cours
Engel10. Si je suis toi (puisque la definition n'est pas dans mon cours), je demanderais gentiment la définition à Dom ou gerard de l' intégralité d'une fonction positive sur un intervalle quelconque
Réponses
C’est quand $\displaystyle \int_{R_+^* }|f| < \infty$. Or là ça diverge.
Ce que je sais, c'est que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ si $\int_{0}^{\infty }{f(x)dx}$ existe dans $\mathbb{R}$. Et je sais aussi que la convergence absolue de l'intégrale entraîne sa convergence simple. Mais, à vrai dire je ne comprends pas ce que tu dis.
Merci de me comprendre.
La définition de « intégrable sur un intervalle non bornée » est avec une valeur absolue.
(On peut dire : « intégrable sur cet ensemble » revient à dire que « l’intégrale est absolument convergente »)
Cette fonction n’est pas intégrable sur cet ensemble mais par contre l’intégrale (généralisée) est (semi) convergente.
« semi convergente » signifie « convergente sans être absolument convergente ».
Il y a une grosse différence entre "l'intégrale converge" (théorie des intégrales généralisées) et "la fonction est intégrable" (théorie de l'intégration).
Cordialement.
Vraiment, merci beaucoup je comprends mieux maintenant.
Bonjour gebrane, à vrai dire, dans mon cours il est juste question du fait que l'intégrale d'une fonction positive sur un segment est positive