Intégrale de Dirichlet

C’est la définition de $f$ est intégrable sur $\mathbb R_+^*$.

C’est quand $\displaystyle \int_{R_+^* }|f| < \infty$. Or là ça diverge.

Non, ta phrase « $f$ est intégrable sur ... » est fausse.
La définition de « intégrable sur un intervalle non bornée » est avec une valeur absolue.
(On peut dire : « intégrable sur cet ensemble » revient à dire que « l’intégrale est absolument convergente »)

Cette fonction n’est pas intégrable sur cet ensemble mais par contre l’intégrale (généralisée) est (semi) convergente.

« semi convergente » signifie « convergente sans être absolument convergente ».

Engel, est ce que tu as vu dans ton cours comment on définit l’intégrale d'une fonction positive sur un intervalle quelconque ? Si oui donne nous la définition de ton cours

Engel10. Si je suis toi (puisque la definition n'est pas dans mon cours), je demanderais gentiment la définition à Dom ou gerard de l' intégralité d'une fonction positive sur un intervalle quelconque