Intégrale impropre

Alyes · March 2021

Bonjour,
Je suis embêté avec la 2ème intégrale. Elle est impropre en 1; 2 et 3. Converge-t-elle vraiment ?
Merci pour vos réponses. 118118

gilles benson · March 2021

ben non

Alyes · March 2021

D'accord merci pour ta réponse. Il y a donc bien une erreur dans l'énoncé.

Je pensais remplacer la borne 0 par 4 par exemple

jean lismonde · March 2021

bonjour

concernant la seconde intégrale il n'y a pas d'erreur d'énoncé, elle est parfaitement convergente

d'une part sur les deux bornes d'intégration 0 et + oo elle converge,

d'autre part au voisinage de x = 1, x =2, x = 3 la discontinuité de la fonction à intégrer

est compensée et digérée dans l'intégration, puisqu'il s'agit de pôles simples

le calcul de l'intégrale en question nécessite une décomposition en fractions élémentaires soit :

$\frac{x}{(x-3)(x-2)(x-1)} = \frac{3/2}{x-3} - \frac{2}{x-2} + \frac{1/2}{x-1}$

et l'intégrale est donc l'expression :

$$[\frac{1}{2}ln\frac{(x-1)(x-3)^3}{(x-2)^4}]$$ à calculer de 0 à + oo soit :

$$\frac{-1}{2}ln\frac{27}{16}$$

cordialement

Fin de partie · March 2021

La deuxième intégrale ne converge pas mais apparemment elle a une valeur principale.

cadiou · March 2021

bonjour, êtes vous certain que la première ne converge pas? on peut calculer la primitive de la fonction et donc la calculer, =+4
cordialement

etanche · March 2021

La première se calcule avec IPP

Fin de partie · March 2021

La première peut se calculer facilement si on connait la fonction gamma.

cadiou · March 2021

bonjour, pourquoi utiliser la fonction Gamma, l'IPP parait simple?

gilles benson · March 2021

rebonjour, la notion de valeur principale correspond au principe suivant.
On remplace le calcul de $\ \displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm dt\ $ par $\ \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c- \epsilon} f(t) \mathrm dt + \int_{c+ \epsilon}^b f(t) \mathrm dt,\ $ si $a < c < b $ et si $f$ présente un pôle en $c$.
Le fait de passer par une limite symétrique permet parfois d'obtenir une limite finie.

Fin de partie · March 2021

Cadiou a écrit:

bonjour, pourquoi utiliser la fonction Gamma, l'IPP parait simple ?

\begin{align}
\int_0^\infty (x^2+2)\text{e}^{-x}dx&=\int_0^\infty x^2\text{e}^{-x}dx+2\int_0^\infty \text{e}^{-x}dx\\
&=\Gamma(3)+2\Gamma(1)\\
&=2!+2\times 0!\\
&=\boxed{4}

\end{align} NB. Si $n$ est un entier naturel non nul on a
$\displaystyle \Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}\text{e}^{-x}dx=(n-1)!$

gilles benson · March 2021

rebonjour, il y a un truc simple avec les fonctions du type: $x \mapsto (ax^2 + bx + c)e^{-x}$; c'est un ensemble fermé pour la dérivation:
$$
\dfrac{d}{dx} \left( (ax^2 + bx + c)e^{-x} \right) \; = \; \left( -ax^2 + (2a - b)x +b-c \right) e^{-x}.

$$ Et déterminer une primitive d'une telle fonction revient à résoudre un système triangulaire très simple. Donc pas de fonction eulérienne ni d'intégration par parties.

john_john · March 2021

Accepter la notion de valeur principale d'une intégrale est utile dans le cadre des Distributions, car la dérivée d'une fonction localement intégrable peut ne pas être localement intégrable, mais cela me semble cher payé dans le cadre du calcul intégral pour lui-même : on perd la formule de Chasles, celle du changement de variables et peut-être même aussi l'IPP. Et pour gagner quoi en compensation ?

P. · March 2021

Alyes doit se mefier de ce que dit jean lismonde, qui ne voit aucun inconvenient a dire que $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ converge et vaut zero.

Dom · March 2021

C’est souvent comme ça.
Je ne sais pas pourquoi on dit des choses fausses volontairement.
Ou, du moins, très peu conventionnelles sans le déclarer comme tel.