rebonjour, la notion de valeur principale correspond au principe suivant.
On remplace le calcul de $\ \displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm dt\ $ par $\ \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c- \epsilon} f(t) \mathrm dt + \int_{c+ \epsilon}^b f(t) \mathrm dt,\ $ si $a < c < b $ et si $f$ présente un pôle en $c$.
Le fait de passer par une limite symétrique permet parfois d'obtenir une limite finie.
rebonjour, il y a un truc simple avec les fonctions du type: $x \mapsto (ax^2 + bx + c)e^{-x}$; c'est un ensemble fermé pour la dérivation:
$$
\dfrac{d}{dx} \left( (ax^2 + bx + c)e^{-x} \right) \; = \; \left( -ax^2 + (2a - b)x +b-c \right) e^{-x}.
$$ Et déterminer une primitive d'une telle fonction revient à résoudre un système triangulaire très simple. Donc pas de fonction eulérienne ni d'intégration par parties.
Accepter la notion de valeur principale d'une intégrale est utile dans le cadre des Distributions, car la dérivée d'une fonction localement intégrable peut ne pas être localement intégrable, mais cela me semble cher payé dans le cadre du calcul intégral pour lui-même : on perd la formule de Chasles, celle du changement de variables et peut-être même aussi l'IPP. Et pour gagner quoi en compensation ?
C’est souvent comme ça.
Je ne sais pas pourquoi on dit des choses fausses volontairement.
Ou, du moins, très peu conventionnelles sans le déclarer comme tel.
Réponses
Je pensais remplacer la borne 0 par 4 par exemple
concernant la seconde intégrale il n'y a pas d'erreur d'énoncé, elle est parfaitement convergente
d'une part sur les deux bornes d'intégration 0 et + oo elle converge,
d'autre part au voisinage de x = 1, x =2, x = 3 la discontinuité de la fonction à intégrer
est compensée et digérée dans l'intégration, puisqu'il s'agit de pôles simples
le calcul de l'intégrale en question nécessite une décomposition en fractions élémentaires soit :
$\frac{x}{(x-3)(x-2)(x-1)} = \frac{3/2}{x-3} - \frac{2}{x-2} + \frac{1/2}{x-1}$
et l'intégrale est donc l'expression :
$$[\frac{1}{2}ln\frac{(x-1)(x-3)^3}{(x-2)^4}]$$ à calculer de 0 à + oo soit :
$$\frac{-1}{2}ln\frac{27}{16}$$
cordialement
cordialement
On remplace le calcul de $\ \displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm dt\ $ par $\ \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c- \epsilon} f(t) \mathrm dt + \int_{c+ \epsilon}^b f(t) \mathrm dt,\ $ si $a < c < b $ et si $f$ présente un pôle en $c$.
Le fait de passer par une limite symétrique permet parfois d'obtenir une limite finie.
\int_0^\infty (x^2+2)\text{e}^{-x}dx&=\int_0^\infty x^2\text{e}^{-x}dx+2\int_0^\infty \text{e}^{-x}dx\\
&=\Gamma(3)+2\Gamma(1)\\
&=2!+2\times 0!\\
&=\boxed{4}
\end{align} NB. Si $n$ est un entier naturel non nul on a
$\displaystyle \Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}\text{e}^{-x}dx=(n-1)!$
$$
\dfrac{d}{dx} \left( (ax^2 + bx + c)e^{-x} \right) \; = \; \left( -ax^2 + (2a - b)x +b-c \right) e^{-x}.
$$ Et déterminer une primitive d'une telle fonction revient à résoudre un système triangulaire très simple. Donc pas de fonction eulérienne ni d'intégration par parties.
Je ne sais pas pourquoi on dit des choses fausses volontairement.
Ou, du moins, très peu conventionnelles sans le déclarer comme tel.