Équation aux dérivées partielles non-linéaire

Bonjour à toutes et à tous,

Je fais face à des difficultés pour résoudre une équation aux dérivées partielles non-linéaire que j'obtiens à la suite d'une petite modélisation. L'équation a la forme suivante :
$$
f(x,y) = a.x^2 + b.y^2 + c.\Big(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x }\Big)^2 + d.\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}.y + e.\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}.y + g$$

où $a, b, c, d, e, g$ sont des réels fixés.

Pour l'instant, j'ai posé $f(x,y) = \alpha.x^2 + \beta.y^2 + \gamma.x.y + \delta.x + \epsilon.y + \zeta$ et en réinjectant dans l'équation, j'ai identifié deux solutions particulières de cette équation (selon la forme de $\alpha$). On obtient alors les contraintes suivantes sur les paramètres :

$\alpha = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-16.a.c}}{8.c}$

$\gamma = \dfrac{2.d.\alpha}{1-e-4.c.\alpha}$

$\beta = \dfrac{c.\gamma^2+d.\gamma+b}{1-2.e}$

$\delta = 0$

$\epsilon = 0$

$\zeta = g$

Mais je pense que l'ensemble des solutions n'est pas restreint à deux fonctions.

Ma question est donc, comment poursuivre, quelle est la forme de l'ensemble des solutions ou comment les obtenir toutes ?

Par ailleurs, en termes de régularité, si on ne connaît pas la forme des solutions, on sait seulement qu'elles sont $C^1$, n'est-ce pas ?

J'entends par là que pour certaines équations linéaires, il est possible de démontrer par récurrence que les solutions sont en fait $C^\infty$ (la dérivée s'exprime "facilement" en fonction de la solution qui est $C^1$, donc la dérivée est elle-même $C^1$, donc la solution est $C^2$, etc.). Ici, je ne suis pas sûr que ce raisonnement tienne car il y a deux dérivées partielles, et la somme de deux fonctions continues ($\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$) mais non-dérivables peut donner une fonction dérivable ($f$).

En vous remerciant pour votre aide,
mdho