Calcul d'une limite
dans Analyse
Merci de m'aider pour calculer la limite ci-contre.
Réponses
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Tu veux savoir comment
simplifier un rapport contenant des radicaux.
On peux simplifier par x-2 en écrivant -5=-2-3 et -9=-2-7. Je te laisse trouver le comment.Le 😄 Farceur -
bonjour
la décomposition numérique proposée par gebrane est la bonne
mais on n'est pas obligé de factoriser et simplifier, il suffit d'utiliser les quantités conjuguées
je trouve une limite égale à 5/47
bonne journée -
Je pose $x=2+h$ et fais un developpement limite a l'ordre 1 des numerateur et denominateur. Limite 11/27.
-
Règle de L'Hôpital on trouve 11/27.
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Je fais la moyenne pondérée des résultats précédents et je trouve...
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Salut, remarquez d'abord que
\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}&=&\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9} \cdot \color{blue}{\frac{5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5}}{5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5}}}\\
&=&\frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{(-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23})(5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5)}}.
\end{eqnarray*}
Maintenant, en utilisant la règle du produit pour les limites fonctionnelles (Je suppose que les limites existent, au sens strict, je devrais d'abord vérifier que ces limites existent)
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}&=& \lim_{x\to 2} \frac{1}{5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5}}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}\\
&=&\color{red}{\frac{1}{4}}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}.
\end{eqnarray*}
Maintenant, remarquez à nouveau que
\begin{eqnarray*}
\frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}&=&\frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}} \cdot \color{blue}{\frac{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}}{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}}}\\
&=&\frac{\frac{1}{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}}\cdot \frac{x^{4}-2x^{3}-43x^{2}-56x+284}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}}{4}.
\end{eqnarray*}
Ensuite,
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 2} \frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}&=&\frac{\lim_{x\to 2} \frac{1}{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-2x^{3}-43x^{2}-56x+284}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}} }{4}\\
&=&\frac{\color{red}{-\frac{1}{60}}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-2x^{3}-43x^{2}-56x+284}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}} }{4}.
\end{eqnarray*}
Appliquer un raisonnement similaire à la nouvelle limite, d'abord multiplier et diviser par $$\color{green}{(9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{4x^{2}+5x+23})},$$
à nouveau, vous rencontrerez une expression similaire à la précédente et maintenant multipliez et divisez en $$\color{orange}{(53+x+2x^{2}+9\sqrt{4x^{2}+5x+23})}.$$
Enfin, calculez la limite par évaluation directe $$\color{blue}{\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}}=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{60}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(-\frac{440}{9}\right) \right)=\color{blue}{\frac{11}{27}}.$$ -
@evariste21 on fait ce gros calcul une fois seulement dans une vie ensuite on applique L'Hôpital...B-)-
-
:-D@raoul.S Je sais, mais je voulais me souvenir du bon vieux temps. Sans aucun doute, ici on s'arrête pour voir la puissance de L'Hôpital ou même une extension en série en $x=2$, $$\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}=\frac{11}{27}+\operatorname{O}(x-2).$$
Ensuite, $$\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}=\frac{11}{27}.$$ -
Tout dépend du niveau auquel on se place... Le théorème de l'[large]H[/large]ôpital n'est pas enseigné en terminale il me semble.
[Guillaume de L'Hôpital (1661-1704) prend toujours une majuscule. AD]
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