Calcul d'une limite

bonjour

la décomposition numérique proposée par gebrane est la bonne

mais on n'est pas obligé de factoriser et simplifier, il suffit d'utiliser les quantités conjuguées

je trouve une limite égale à 5/47

bonne journée

Règle de L'Hôpital on trouve 11/27.

Salut, remarquez d'abord que

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}&=&\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9} \cdot \color{blue}{\frac{5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5}}{5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5}}}\\
&=&\frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{(-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23})(5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5)}}.
\end{eqnarray*}

Maintenant, en utilisant la règle du produit pour les limites fonctionnelles (Je suppose que les limites existent, au sens strict, je devrais d'abord vérifier que ces limites existent)
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}&=& \lim_{x\to 2} \frac{1}{5+\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+5}}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}\\
&=&\color{red}{\frac{1}{4}}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}.
\end{eqnarray*}

Maintenant, remarquez à nouveau que

\begin{eqnarray*}
\frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}&=&\frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}} \cdot \color{blue}{\frac{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}}{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}}}\\
&=&\frac{\frac{1}{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}}\cdot \frac{x^{4}-2x^{3}-43x^{2}-56x+284}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}}{4}.
\end{eqnarray*}
Ensuite,

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 2} \frac{-28+x-x^{2}+10\sqrt{x^{2}+5}}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}}&=&\frac{\lim_{x\to 2} \frac{1}{-28+x-x^{2}-10\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-2x^{3}-43x^{2}-56x+284}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}} }{4}\\
&=&\frac{\color{red}{-\frac{1}{60}}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-2x^{3}-43x^{2}-56x+284}{-9+\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}} }{4}.
\end{eqnarray*}

Appliquer un raisonnement similaire à la nouvelle limite, d'abord multiplier et diviser par $$\color{green}{(9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{4x^{2}+5x+23})},$$

à nouveau, vous rencontrerez une expression similaire à la précédente et maintenant multipliez et divisez en $$\color{orange}{(53+x+2x^{2}+9\sqrt{4x^{2}+5x+23})}.$$

Enfin, calculez la limite par évaluation directe $$\color{blue}{\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}}=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{60}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(-\frac{440}{9}\right) \right)=\color{blue}{\frac{11}{27}}.$$

:-D@raoul.S Je sais, mais je voulais me souvenir du bon vieux temps. Sans aucun doute, ici on s'arrête pour voir la puissance de L'Hôpital ou même une extension en série en $x=2$, $$\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}=\frac{11}{27}+\operatorname{O}(x-2).$$
Ensuite, $$\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}+5}-5}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{4x^{2}+5x+23}-9}=\frac{11}{27}.$$