Théorème de convergence dominée

Oui il y a la méthode FDP, tu intègre , puis tu passes à la limite . Un exemple bidon P(x)=x

FDP est un spécialiste dans le calcul exact d’intégrales

Bonjour,
Si $\max\limits_{x\in[a,b]} [p(x)]_+ \neq \max\limits_{x\in[a,b]} [p(x)]_-$ (parties positive et négative de $p(x)$), alors $$\left|\int_a^b p(x)^n\,{\rm d}x \right| ^{\frac1n} \underset{n\to\infty}\longrightarrow \max_{x\in[a,b]} |p(x)|.$$ Ainsi, dans ce cas,

• si $\max\limits_{[a,b]} |p| <1$, alors $\int_a^b p^n \to 0$
• et, si $\max\limits_{[a,b]} |p| >1$, alors $\int_a^b p^n \to +\infty$ si $\max\limits_{[a,b]} |p|$ est atteint en un endroit où $p$ est positif et $\int_a^b p^n$ n'a pas de limite sinon.

Ça permet de traiter déjà beaucoup de cas.

Calli attention , pour p identiquement égale à 1 tu as bien $\max\limits_{[a,b]} |p| = 1$ mais

Deux exemples dans le cas $\max\limits_{[a,b]} |p| >1$ et $\max\limits_{[a,b]} p_+ = \max\limits_{[a,b]} p_-$ qui donnent des résultats différents :

1. Si $p(X) = 2-4X^2$, alors $\int_{-1}^1 p^n \to +\infty$ si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.
2. Si $p(X) = 2X$, alors $\int_{-1}^1 p^n$ n'a pas de limite car elle tend vers $+\infty$ sur les $n$ pairs, mais est nulle sur les $n$ impairs.

Calli, Prenons courage et généralisons ceci aux fonctions continues. Je vais traiter le cas le plus simple ( le cas positif pour ne pas m’embêter avec les parties positives et négatives) et je te laisse le cas général.
Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue et positive . On a bien ( c'est classique) $$\lim_{n\to \infty}\left[ \int_a^bf(x)^n\,dx
 \right]^{1/n}=\max_{x\in[a,b]}f(x).$$
Je pose $u_n=\left[ \int_a^bf(x)^n\,dx
 \right]$ et $v_n=u_n^{\frac 1n}$ et $M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$
La régle de Cauchy nous dit

si M<1, alors $\lim_{n\to \infty} u_n=0$
si M>1, alors $\lim_{n\to \infty} u_n=+\infty$
Si M=1, je passe mon tours

totem c'est kif kif pour une fonction continue sur un segment