Équations différentielles - séries entières

ernst
ernst
dans Analyse
Bonjour à tous. Vous allez bien je l'espère. J'ai besoin de votre aide pour comprendre la partie encadrée dans la photo.
Aussi, j'ai question : comment savoir qu'une équation différentielle linéaire de premier ordre ou du deuxième ordre admet des solutions développables en série entières ?
Merci d'avance !118342

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Fais ce que dit l'énoncé, cherche une solution sous la forme dite. Écris que cette somme de série entière vérifie l'équation différentielle. Bon courage.
  • gebrane
    gebrane
    Normalement on trouve une solution $y_1$ de l'eq. diff. développable en série entière. En suite pour chercher toutes les solutions de l'eq. diff. sur un un intervalle, on peut utiliser la méthode d'abaissement d'ordre pour chercher une deuxième solution $y_2$ et vérifier en fin qu'on obtient une base de solution $(y_1,y_2)$
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    Ou bien on peut vérifier directement que les solutions développables en série entière forment un espace de dimension 2, comme dit l'énoncé.
  • gebrane
    gebrane
    Chaurien bonjour
    Donne moi un exemple d'eq.diff d'ordre 2 où on tombe exactement sur une base de solutions en utilisant un développement en série entière
    Je ne connais pas
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    L'équation proposée est un exemple, je pense. Mais pour s'en rendre compte, il faut donner la solution, et il est peut-être un peu trop tôt.
  • ernst
    ernst
    Bonsoir, j'ai supposé qu'il existe une solution développable en série entière au voisinage de 0. Notons $y$ cette solution. Quand j'ai remplacé dans l'équation différentielle, j'ai trouvé la relation de récurrence an=((n+2)/n)an-2. Ensuite, j'ai fait :
    an / an-2 * an-2 / an-4 ... a2 / a0 = ((n+2)/2).
    Donc an=((n+2)/2)*a0.
    Après ça, j'ai vérifié que le rayon de convergence de cette série entière était de rayon non nul. Mais ce que je ne comprends c'est que dans la correction, an a été trouvé selon la parité de n.
    Q1. Je ne comprends pas la nécessité de faire ainsi.
    Q2. Quand je cherche an selon la parité de n, je trouve a2p=(p+1)a0 et a2p+1=((2p+3)/2)a0.
    Pourquoi, dans la correction, a1 est forcément intervenu dans l'expression de a2p+1 ?
    Merci d'avance pour vos réponses.
    Je vous montre.

    [Préférer "joindre l'image" à donner un lien qui disparaîtra tôt ou tard. AD]118344
  • Chaurien
    Chaurien
    Je trouve comme toi, et comme le corrigé, $a_{n+2}$ en fonction de $a_n$. Ceci te permet donc de calculer $a_2$ en fonction de $a_0$, et $a_4$ en fonction de $a_2$, etc., et finalement $a_{2p}$ en fonction de $a_0$. Et de même $a_3$ en fonction de $a_1$, et $a_5$ en fonction de $a_3$, etc., jusqu'à $a_{2p+1}$ en fonction de $a_1$.
    Ta formule « a_n=((n+2)/2)*a_0 » est erronée.
    La suite du corrigé en découle clairement. On peut même donner l'expression de $y(x)$, qui est une fonction rationnelle, ou plutôt un ensemble de fonctions rationnelles, avec les deux paramètres réels $a_0$ et $a_1$ qu'on peut choisir librement.
    L'ensemble de ces fonctions, lorsque $(a_0,a_1)$ décrit $\mathbb R^2$, est un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension 2 comme dit le corrigé. Ce qui répond à la question de Gebrane.


    .
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    On peut remarquer dès le début que les coefficients de l'équation différentielle sont, dans l'ordre, pair, impair, pair.
    Donc si on décompose une éventuelle solution $y$ en sa partie paire et sa partie impaire, $y(x)=y_p(x)+y_i(x)$, puis en faisant le changement de variable $x\mapsto -x$, on voit que chacune de ces parties est également solution, donc on aura deux solutions linéairement indépendantes de parités différentes.
    Bon, je ne suis pas sûr que ce que je raconte soit utile.

    Cordialement,

    Rescassol
  • ernst
    ernst
    Ok je vois merci pour vos eclairages.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour

    les développements en série ne sont pas nécessaires à la résolution de ton équation différentielle qui s'écrit :

    $y''(1-x^2) - 2xy' - 4xy' - 4y = 0$ soit encore :

    $[y'(1-x^2)]' = 4(xy)'$ que tu peux intégrer membre à membre soit :

    $y'(1-x^2) = 4xy + k$ avec k constante d'intégration

    équation différentielle du premier ordre que l'on sait résoudre

    l'équation différentielle sans second membre est : $\frac{y'}{y} = \frac{4x}{1-x^2}$

    et donc $y = \frac{M}{(x^2 - 1)^2}$ avec M nouvelle constante d'intégration

    pour achever le calcul nous utilisons la méthode de la variation de la constante M, il vient :

    $y' = \frac{M'}{(x^2-1)^2} - \frac{4Mx}{(x^2-1)^3}$ et finalement en injectant dans l'équation originelle :

    $\frac{M'}{(x^2-1)^2} = \frac{-k}{x^2-1}$ et donc $M = Kx - K\frac{x^3}{3} + N$ avec N nouvelle constante d'intégration

    soit : $y = \frac{K}{(x^2 - 1)^2}[x - \frac{x^3}{3}] - \frac{N}{(x^2 - 1)^2}$

    les 2 constantes N et k dépendent de deux conditions initiales

    cordialement
  • Chaurien
    Chaurien
    J'ai retrouvé dans mes papiers : $(1-x^2)y''-xy'+4y=0$, qui s'arrange pareillement.
    On peut considérer la famille d'équations différentielles $(1-x^2)y''+bxy'+cy=0$, et chercher les conditions sur $b,c$ pour que l'on ait pour solution une série entière régie par une récurrence de même facture : $a_{n+2}=\frac {n+\beta}{n+\alpha}a_n$. Ce n'est pas trop difficile.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
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