Trajectoires rectilignes et planes

OShine · March 2021

Bonsoir,

Je suis bloqué à la dernière question car je ne sais pas ce que c'est une trajectoire rectiligne et plane en langage mathématique.

Pour la question IV.F.1 je trouve $T=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $G=Vect(1,0,1)$ et $F=Vect \{ (2,1,-1),(0,-1,-1) \}$

La question IV.F.2 je trouve $\boxed{X(t)= e^t U}$

Pour la question IV.F3 très calculatoire j'ai trouvé :

$\boxed{\begin{cases}
x(t)=e^{-t} \left( a \cos \ 2t+b \sin \ 2t \right) \\
y(t)=e^{-t} \left(b \cos \ 2t -a \sin \ 2t \right)
\end{cases}}$

Le début de la dernière question :

On pose $Y=P^{-1} X$. Donc $Y'=P^{-1} X'=P^{-1} AX=P^{-1} APY=TY$

Donc en utilisant la matrice $T$ obtenue précédemment on a :

$\begin{cases}
y_1 '(t)=-y_1+2y_2 \\
y_2 '(t)=-2y_1+y_2\\
y_3 '(t)=y_3
\end{cases}$

$\boxed{\exists (a,b,c) \in \R^3 \ \begin{cases}
y_1=e^{-t} ( a \cos \ 2t+b \sin \ 2t) \\
y_2 =e^{-t} (b \cos \ 2t -a \sin \ 2t ) \\
y_3 =c e^{t}
\end{cases}}$ 118408

bd2017 · March 2021

Bonjour

Commence par justifier ta réponse à IV.F. 2 !! (qui est fausse)

OShine · March 2021

On a $U=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$ et $AU=U$. $U$ est le vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$.

Si on pose $X(t)=e^t U$ alors $X'(t)= e^t U= e^t AU=A(e^t U)=A X(t)$

$X(0)=U$ donc $X$ est solution.

bd2017 · March 2021

Non $U\in G$ !!!

OShine · March 2021

Oui tu as raison merci. On a : $G=Vect(1,0,1)$.

Donc on peut écrire $U=\begin{pmatrix} u_0 \\ 0 \\ u_0 \end{pmatrix}$ avec $u_0 \in \R$.

Posons $X(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ 0 \\ x(t) \end{pmatrix}$ alors $X'(t)=\begin{pmatrix} x'(t) \\ 0 \\ x'(t) \end{pmatrix}$.

Comme $X(t) \in G$, on a $AX(t)=X(t)$ donc $x'(t)=x(t)$ et finalement l'unique solution est :

$\boxed{X(t)=\begin{pmatrix} u_0 e^t \\ 0 \\ u_0 e^t \end{pmatrix}}$

Voici le rapport du jury, il semble que cette partie a posé beaucoup de problèmes aux candidats.

. 118442

bd2017 · March 2021

Le plus correct est de dire que tu avais mal recopié la définition de F et G.

OShine · March 2021

Oui j'avais fait une erreur je l'ai corrigée.

Pour la trajectoire rectiligne la condition nécessaire et suffisante est $a=b=0$ non ?

Pour la trajectoire plane je dirais $c=0$

bd2017 · March 2021

Heu! c'est quoi a,b,c? Suis-je obligé de deviner car je ne vois nulle part où c'est défini. ?

Et puis c'est à toi de faire le travail. Car si je dois répondre oui c'est ça, ou bien non ce n'est pas ça, cela m'oblige à prendre un stylo et faire les calculs.
Alors sors de ta paresse habituelle et commence à raisonner.

C'est-à-dire que tu supposes que la trajectoire est rectiligne.

C'est-à-dire blabla ...