Minimiseur, local ou global ?

Code_Name · March 2021

Bonjour, soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$ une fonction. On est d'accord pour dire que les minimiseurs de cette fonction le sont uniquement sur un voisinage local non ?

Je pose cette question car il se trouve qu'avec la fonction $f(x)=\mathbb E[|X-x|]$, où $X$ est une variable aléatoire réelle, on peut montrer que les minimiseurs de cette fonction sont exactement les médianes de la variable aléatoire $X$.

Et d'après mon corrigé, si $m$ est une médiane, $\mathbb E[|X-m|]\leq \mathbb E[|X-\mathbb E(x)|]$ car $m$ est un minimiseur. Je ne comprends pas car $m$ est quelconque... Merci pour votre aide.

gerard0 · March 2021

Bonjour.

Je ne connais pas cette notion de "minimiseur" (s'agit-il de la notion de valeur pour laquelle on a un minimum global ? Dans ce cas, ce n'est pas local). Mais pour ton dernier paragraphe, on montre facilement que si $m$ est la médiane de la variable aléatoire réelle $X$, alors pour tout réel $a$, on a $\mathbb E[|X-m|]\leq \mathbb E[|X-a|]$. Et ce qui est écrit est simplement le fait de prendre $a=\mathbb E(x)$.
Au passage, $m$ n'est pas quelconque.

Cordialement.

Code_Name · March 2021

Bonjour gerard0, donc d'après vous les médianes sont des minimums globaux de la fonction $f(x)$? C-à-d pour tout $m_1,m_2$ deux médianes, on aurait que $f(m_1)=f(m_2)$?