Équation différentielle linéaire d'ordre 1
dans Analyse
Bonjour
Je suis un peu perdu, j'aimerais que quelqu'un m'aide à démêler mon raisonnement et à trouver où est l'erreur, s'il vous plaît.
Ma question est simple, soient $a,b \in \mathbb{R}$ fixés, j'ai l'impression que $\forall \gamma \in \mathbb{R}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\begin{equation}
u(t) = b t^2 + \gamma t +a
\end{equation} est solution de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1, à donnée initiale suivante,
\begin{equation}
y = t y' + a - t^2 b,
\end{equation} avec $y(0) = a$. Dans mon raisonnement il y a alors une infinité de solutions à ce problème de Cauchy qui en théorie n'en admet qu'une... Est-ce que quelqu'un a une explication, s'il vous plaît ? Merci d'avance et bonne soirée.
Je suis un peu perdu, j'aimerais que quelqu'un m'aide à démêler mon raisonnement et à trouver où est l'erreur, s'il vous plaît.
Ma question est simple, soient $a,b \in \mathbb{R}$ fixés, j'ai l'impression que $\forall \gamma \in \mathbb{R}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\begin{equation}
u(t) = b t^2 + \gamma t +a
\end{equation} est solution de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1, à donnée initiale suivante,
\begin{equation}
y = t y' + a - t^2 b,
\end{equation} avec $y(0) = a$. Dans mon raisonnement il y a alors une infinité de solutions à ce problème de Cauchy qui en théorie n'en admet qu'une... Est-ce que quelqu'un a une explication, s'il vous plaît ? Merci d'avance et bonne soirée.
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Réponses
Je dis que ce n’est pas un problème de Cauchy.
Sais-tu prouver que j’ai raison ?
\begin{align}
&y = \alpha(t) y' + \beta(t) \\
&y(t_0) = y_0,
\end{align} non ?
\begin{equation}
y' = \frac1t y - \frac{a- t^2 b}{t},
\end{equation} donc les coefficients ne sont pas continus. Tout s'explique.
Merci et bonne soirée.
ton équation différentielle (avec t variable non-nulle) peut s'écrire : $\frac{ty' - y}{t^2} = - \frac{a}{t^2} + b$
soit encore : $(\frac{y}{t})'= b - \frac{a}{t^2}$
et en intégrant membre à membre : $\frac{y}{t} = bt + \frac{a}{t} + k$
avec k constante d'intégration qui n'est pas déterminée par ta condition initiale
soit encore : $y = bt^2 + kt + a$
cordialement